Identitas Segitiga Pascal

Melanjutkan teorema Ekspansi Binomial pertama, yaitu teorema Identitas segitiga pascal. Adapun suara kelanjutan teorema 2 Identitas segitiga pascal tersebut didefenisikan sebagai berikut,

Misalkan n dan k ialah bilangan bundar nyata dengan n≥k. Maka
$\begin{pmatrix} n+1 \\  k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\  k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix}$

Pembuktian teorema di atas dapat dilakukan dengan kombinatorik menyerupai uraian berikut,
Misalkan pula bahwa a ialah sebuah elemen pada himpunan T dan S=T−{a}. Karena |T|=n+1 berarti ada $\begin{pmatrix} n+1 \\  k \end{pmatrix}$ subset dari himpunan T dengan k elemen.

Akan tetapi, subset dari himpunan T dengan k elemen salah satunya memuat a bersama dengan k−1 elemen dari S atau jikalau tidak memuat k elemen dari S dan tidak memuat a.

Jika subset dari himpunan T dengan k elemen memuat a bersama dengan k−1 elemen dari S maka banyaknya subset yang berbentuk menyerupai ini ada $\begin{pmatrix} n \\  k-1 \end{pmatrix} $ 

Jika subset dari himpunan T dengan k elemen memuat k elemen dari S dan tidak memuat a maka banyaknya subset yang berbentuk menyerupai ini ada $\begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix}$ Akibatnya,
$\begin{pmatrix} n+1 \\  k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\  k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix}$


Lebihnya untuk lebih sederhana perhatikan contoh di bawah ini,

Identitas paskal menawarkan bahwa ketika koefisien binomial yang bertetangga pada segitiga ini dijumlahkan, koefisien pada baris selanjutnya yang berada diantara dua koefisien ini dihasilkan dari penjumlahan tersebut. Berikutnya, lanjutkan membaca Teorema Identitas Vandermonde.

Berbagi :