Pembuktian Dalil Ceva

Setelah anda mengetahui Bunyi dan Isi Dalil Ceva pada Segitiga, berikut kita lanjutkan dengan melaksanakan pembuktian terhadap dalil Ceva ini. Karena, kita tidak sanggup mendapatkan sebuah kebenaran tanpa ada pembuktian.

Ada dua metode dalam melaksanakan pembuktian kebenaran Dalil Ceva ini. Pertama dengan memakai dalil Menelaus dan ke dua dengan memakai prinsip luas segitiga.

Bunyi Dalil Ceva:

AD, CF dan BE akan berpotongan disebuah titik kalau dan hanya jika:

$\frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $

Sebelumnya, suara dalil Ceva tersebut mengikuti kalimat biimplikasi. Ini ditandai dengan adanya katan jika dan hanya jika. Sesuai kaidah logika, maka ini harus dibuktikan secara dua arah. Kita pecah menjadi dua kalimat implikasi, dan dua kalimat implikasi ini harus kita buktikan kebenarannya.

Implikasi 1:

Jika AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik, maka 

$  \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $

Implikasi 2:

Jika  AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik, 

maka $  \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $

Pembuktian Implikasi 1

Perhatikan segitiga di bawah ini,

Perhatikan △BOD dan △COD. Jika alasnya masing masing BD dan CD maka Kedua segitiga tersebut mempunyai tinggi yang sama. Misalkan tingginya t1. Luas kedua segitiga tersebut sanggup ditulis,

$ L_{BOD} = \frac{1}{2}.BD . t_1   $

$ L_{COD} = \frac{1}{2}.CD . t_1   $

Perhatikan △BAD dan △CAD masing masing alasnya BD dan CD. Kedua segitiga mempunyai tinggi yang sama dan misalkan tingginya tersebut t2. Luas kedua segitiga tersebut sanggup dinyatakan,

$ L_{BAD} = \frac{1}{2}.BD . t_2   $

$ L_{CAD} = \frac{1}{2}.CD . t_2   $

Sekarang Luas segitiga AOB dan AOC sanggup dinyatakan,

 $L_{AOB} = L_{BAD} - L_{BOD} \\  L_{AOB} = \frac{1}{2}.BD . t_2 - \frac{1}{2}.BD . t_1 \\ L_{AOB} = \frac{1}{2}.BD . (t_2 - t_1)$

$L_{AOC} = L_{CAD} - L_{COD} \\  L_{AOC} = \frac{1}{2}.CD . t_2 - \frac{1}{2}.CD . t_1 \\ L_{AOC} = \frac{1}{2}.CD . (t_2 - t_1)$

Bandingkan  Luas segitiga AOB dan AOC,

 $ \frac {L_{AOB}}{L_{AOC}} = \frac {\frac{1}{2}.BD . (t_2 - t_1)}{\frac{1}{2}.CD . (t_2 - t_1)}  \\   \frac {L_{AOB}}{L_{AOC}} = \frac {BD}{CD}$

Persamaan (i)

Dengan langkah yang sama lakukan ini pada segitiga

AOF , BOF .....

AFC dan CFC...

Anda akan peroleh:
$  \frac{L_{AOC}}{L_{BOC}} =\frac{AF}{FB}   $

Persamaan (ii)

Lanjutkan dengan langkah yang sama juga pada segitiga:

AOE, COE ....

ABE, CBE...

Anda akan peroleh,

$ \frac{L_{BOC}}{L_{AOB}}=\frac{CE}{EA}   $

Persamaan (iii)

Lakukan perkalian pada ke-tiga persamaan di atas.

$ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA}  = \frac{L_{AOC}}{L_{BOC}} . \frac{L_{AOB}}{L_{AOC}} . \frac{L_{BOC}}{L_{AOB}} = 1 $

Kaprikornus untuk implikasi pertama kita telah berhasil membuktikan,

$  \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $

Agar pernyataan tersebut sepenuhnya benar maka harus dibuktikan juga sesungguhnya implikasi 2 benar.

Pembuktian Implikasi 2

Untuk pembuktian implikasi 2 ini kita akan gunakan dalil Menelaus. Sekarang perhatikan segitiga awal yang saya hapus sisi AB dan sisi AC nya.

GAMBAR I

Berdasarkan Dalil Menelaus, berlaku

$ \frac{DO}{OA}. \frac{AF}{FB}. \frac{BC}{DC} = 1  $

$ \frac{DO}{OA}= \frac{FB}{AF}. \frac{DC}{BC}   $

Persamaan (i)

GAMBAR II

Berlaku dalil Menelaus sehingga,

$ \frac{DO}{OA}. \frac{EA}{CE}. \frac{BC}{BD} = 1  $

Persamaan (ii)

Subtitusi Persamaan i ke persamaan ii

$ \frac{FB}{AF}. \frac{DC}{BC}. \frac{EA}{CE}. \frac{BC}{BD} = 1  $

$ \frac{FB}{AF}. \frac{DC}{BC}. \frac{EA}{CE}. \frac{BC}{BD} = 1  $

$  \frac{FB}{AF}.\frac{DC}{BD}.\frac{EA}{CE} = 1 $

$  \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $

Sekarang anda juga telah berhasil melaksanakan pembuktian kebenaran implikasi ke-dua. Artinya pernyataan biimplikasi Dalil Ceva tersebut terbukti benar. Berikutnya silakan lanjutkan membaca: Pembuktian Dalil Ceva untuk Sudut (Trigonometri)

Berbagi :