Jarak Dua Titik Koordinat Kutub Atau Polar
Dalam melaksanakan perhitungan antara dua titik atau jarak antara dua titik dengan koordinat polar sanggup dilakukan dengan melaksanakan konversi ke koordinat Cartesius terlebih dahulu (Baca sebelumnya : Perbedaan dan Pengertian Sistem Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius. Lalu kita gunakan rumus:
$ \sqrt { (x_2 – x_1)^2+ (y_2-y_1)^2}$
Pilihan lain jikalau terasa terlalu usang dan berbelit belit alasannya harus mengubah koordinat terlebih dahulu sanggup dilakukan dengan rumus lainnya yaitu:
Misalkan titik A($r_1, \theta _1$) , titik B($r_2, \theta _2$) ,
Coba kita ubah dulu ke Koordinat cartesius :
$ A(r_1, \theta _1) \rightarrow x_1 = r_1 \cos \theta _1 , \, y_1 = r_1 \sin \theta _1 \rightarrow A(r_1 \cos \theta _1,r_1 \sin \theta _1) $
$ B(r_2, \theta _2) \rightarrow x_2 = r_2 \cos \theta _2 , \, y_2 = r_2 \sin \theta _2 \rightarrow A(r_2 \cos \theta _2,r_2 \sin \theta _2) $
Jarak antara titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 } \\ & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Dari hasil subtitusi tersebut sanggup diperoleh : ($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) dan didapatkan bentuk umumnya :
Pembahasan :
Diketahui: $ A(r_1, \theta _1) = (3,160^\circ ) \, $ dan $ B(r_2, \theta _2) = (4, 100^\circ) $
Jarak AB/Panjang AB ialah :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \\ & = \sqrt{ 3^2 + 4^2 - 2.3.4. \cos ( 160^\circ - 100^\circ ) } \\ & = \sqrt{ 9 + 16 - 24. \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{ 25 - 24. \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{ 25 - 12 } \\ & = \sqrt{ 13 } \end{align} $
Jadi, panjang ruas garis AB ialah $ \sqrt{ 13 } \, $ satuan panjang.
$ \sqrt { (x_2 – x_1)^2+ (y_2-y_1)^2}$
 |
| Salah satu kegunaan Jarak antara dua titik Koordinat Polar ialah Mencari panjang tali busur |
Misalkan titik A($r_1, \theta _1$) , titik B($r_2, \theta _2$) ,
Coba kita ubah dulu ke Koordinat cartesius :
$ A(r_1, \theta _1) \rightarrow x_1 = r_1 \cos \theta _1 , \, y_1 = r_1 \sin \theta _1 \rightarrow A(r_1 \cos \theta _1,r_1 \sin \theta _1) $
$ B(r_2, \theta _2) \rightarrow x_2 = r_2 \cos \theta _2 , \, y_2 = r_2 \sin \theta _2 \rightarrow A(r_2 \cos \theta _2,r_2 \sin \theta _2) $
Jarak antara titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 } \\ & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Dari hasil subtitusi tersebut sanggup diperoleh : ($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) dan didapatkan bentuk umumnya :
$ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Contoh Soal dan Pembahasan:
1) Berapakah panjang AB jikalau diketahui titik A($3,160^\circ $) dan titik B($4, 100^\circ$)?Pembahasan :
Diketahui: $ A(r_1, \theta _1) = (3,160^\circ ) \, $ dan $ B(r_2, \theta _2) = (4, 100^\circ) $
Jarak AB/Panjang AB ialah :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \\ & = \sqrt{ 3^2 + 4^2 - 2.3.4. \cos ( 160^\circ - 100^\circ ) } \\ & = \sqrt{ 9 + 16 - 24. \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{ 25 - 24. \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{ 25 - 12 } \\ & = \sqrt{ 13 } \end{align} $
Jadi, panjang ruas garis AB ialah $ \sqrt{ 13 } \, $ satuan panjang.
Pembuktian rumus jarak dua titik pada koordinat Polar
Dalam pembuktian rumus jarak antara dua titik pada koordinat polar kita akan membutuhkan beberapa rumus dalam trigonometri:
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ \text{jarak }^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 ^2 \cos ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \cos \theta _2 \cos \theta _1 + r_1^2 \cos ^2 \theta _1) \\ & + (r_2 ^2 \sin ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \sin \theta _2 \sin \theta _1 + r_1^2 \sin ^2 \theta _1) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 ( \sin ^2 \theta _2 + \cos ^2 \theta _2 ) + r_1 ^2 ( \sin ^2 \theta _1 + \cos ^2 \theta _1 ) \\ & - 2r_1r_2 (\cos \theta _2 \cos \theta _1 + \sin \theta _2 \sin \theta _1 ) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 . ( 1 ) + r_1 ^2 . ( 1 ) - 2r_1r_2 (\cos ( \theta _2 - \theta _1 ) ) \\ \text{jarak }^2 & = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) \\ \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Jadi, rumus jarak antara dua titik dengan koordinat kutub/polar ialah $ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
- Identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
- Selisih sudut : $ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ \text{jarak }^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 ^2 \cos ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \cos \theta _2 \cos \theta _1 + r_1^2 \cos ^2 \theta _1) \\ & + (r_2 ^2 \sin ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \sin \theta _2 \sin \theta _1 + r_1^2 \sin ^2 \theta _1) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 ( \sin ^2 \theta _2 + \cos ^2 \theta _2 ) + r_1 ^2 ( \sin ^2 \theta _1 + \cos ^2 \theta _1 ) \\ & - 2r_1r_2 (\cos \theta _2 \cos \theta _1 + \sin \theta _2 \sin \theta _1 ) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 . ( 1 ) + r_1 ^2 . ( 1 ) - 2r_1r_2 (\cos ( \theta _2 - \theta _1 ) ) \\ \text{jarak }^2 & = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) \\ \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Jadi, rumus jarak antara dua titik dengan koordinat kutub/polar ialah $ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $
Posting Komentar untuk "Jarak Dua Titik Koordinat Kutub Atau Polar"