Rumus Persamaan Berkas Bulat Dan Pola Soal
Anda akan melontarkan pertanyaan mengenai apa itu berkas Lingkaran? Arti dari berkas Lingkaran ini adalah:
Misalkan anda mempunyai dua buah Lingkaran, L1 dan L2, kemudian bulat tersebut berpotongan di titik A dan B maka persamaan berkas bulat yang melewati titik A dan B tersebut sanggup ditulis,
$ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $
atau
$ L_1 + \lambda k = 0 \, $
atau
$ L_2 + \lambda k = 0 $
Catatan:
L1 = Persamaan Lingkaran Pertama
L2= Persamaan Lingkaran Ke-dua
k= garis kuasa antara bulat 1 dan bulat 2
ƛ = konstanta
Bila dalam perhitungan didapatkan nilai ƛ = -1, maka persamaan berkas bulat tersebut akan jadi
$ L_1 - L_2 = 0 \, $
maka ini sama dengan persamaan garis kuasa lingkaran.
Untuk mempermudah pemahaman anda mengenai berkas bulat itu bersama-sama apa, perhatikan gambar di bawah ini,
Pada gambar kiri terdapat 2 Lingkaran dengan garis kuasa. Sementara pada gambar yang kanan, anda melihat ada bulat dengan warna hitam. Lingkaran berwarna hitam tersebut yaitu pola gambar dari berkas lingkaran. Anda sanggup menciptakan bulat lain yangberpotongan pada titik yang sama digaris kuasa tersebut. Sederhananya sanggup perihal berkas lingkarang ini,
Pembahasan:
Langkah 1
Sesuai dengan persamaan berkas Lingkaran maka kita akan dapatkan,
$L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 $
Karena bulat melalui titik (1,2) maka kita subtitusikan nilai x=1 dan y=2 ke persamaan di atas.
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ (1^2 + 2^2 + 4.1 - 2.2 - 11) + \lambda (1^2 + 2^2 - 6.1 - 4.2 + 4) = 0 \\ (1 + 4 + 4 - 4 - 11) + \lambda (1 + 4 - 6 - 8 + 4) = 0 \\ (-6) + \lambda (-5) = 0 \\ \lambda = - \frac{6}{5} $
Langkah 2
Anda telah menemukan konstantan untuk ƛ. Nilai ƛ tersebut kita subtitusikan lagi ke persamaan berkas lingkaran. Namun nilai x dan y dibiarkan saja dalam bentuk variabel.
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{6}{5} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ \text{(kalikan dengan 5)} \\ (5x^2 + 5y^2 + 20x - 10y - 55) + (-6) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 + 20x - 10y - 55 -6x^2 -6 y^2 +36x + 24y -24 = 0 \\ -x^2 -y^2 + 56x +14y - 79=0 \\ \text {kalikan dengan -1} \\ x^2 +y^2 - 56x -14y + 79=0$
Makara persamaan Lingkaran yang melewati titik perpotongan L1 dan L2 dan titik (1,2) atau persamaan berkas lingkarannya adalah: $ x^2 +y^2 - 56x -14y + 79=0$
Soal 2. Diketahui dua buah bulat dengan persamaan:
$ L_1 \equiv \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 $
$ L_2 \equiv \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
Tentukan persamaan bulat gres yang melalui titik potong L1 dan L2 dan berpusat di (1,1)
Pembahasan:
Langkah 1
silakan disusun sesuai rumus persamaan berkas bulat terlebih dahulu.
$ L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} = 0 $
Kenapa ƛ saya kalikan pada persamaan bulat ke dua? Sebab disini kita tidak tahu nilai x,y. Yang diketahui hanyalah titik sentra bulat ke dua.
Anda harus ingat kembali, jikalau sebuah bulat dengan persamaan umum:
$x^2+y^2+Ax+By+C =0$
maka sentra bulat tersebut adalah:
$\left ( -\frac {1}{2}A , -\frac {1}{2}B\right )$
Dari persamaan di atas, saya peroleh persamaan berkas lingkarannya:
$x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} = 0 $
Artinya:
$A = \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ - \frac {1}{2}A = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) $
Nilai dari x sentra diberikan soal $ - \frac {1}{2}A = 1$ Jadi,
$- \frac {1}{2}A = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ 1 = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ 2 (1+ \lambda) = 4-6 \lambda \\ 2+2 \lambda = 4- 6 \lambda \\ \lambda = \frac {1}{4}$
Anda telah menemukan nilai ƛ. Sekarang lanjutkan,
Langkah 2:
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0$
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \frac {1}{4} (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 $
Untuk merapikan persamaan di atas semestinya anda sanggup melakukannya sendiri. Berlatihlah untuk mengasah ketelitian anda. 😇
Soal 3: Tentukanlah persamaan bulat gres dengan sentra yang berada pada garis $x-y=4$ dan melalui titik potong lingkaran:
$L1 \equiv x^2+y^2-2x-2y=34 \\ L2 \equiv x^2+y^2+8x-2y-100=0 $ ?
Pembahasan:
Langkah 1
Susun persamaan bulat sesuai rumus persamaan berkas lingkaran:
$L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} = 0$
Dari persamaan tersebut kita tahu pusatnya yaitu,
$Pusat = \left( -\frac{1}{2}A, - \frac{1}{2}B \right) \\ Pusat = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) \\ Pusat = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
Pusat Lingkaran berada di persamaan garis x-y=4
$x - y = 4 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} -1 = 4 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} = 5 \\ 1 - 4 \lambda = 5(1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda = 5 + 5 \lambda \\ \lambda = - \frac{4}{9} $
Anda telah menemukan nilai ƛ. Berikutnya lanjutkan dengan,
Langkah 2:
Anda subtitusikan nilai ƛ yang diperoleh ke persamaan berkas dan rapikan persamaan tersebut. Selamat berlatih.
Misalkan anda mempunyai dua buah Lingkaran, L1 dan L2, kemudian bulat tersebut berpotongan di titik A dan B maka persamaan berkas bulat yang melewati titik A dan B tersebut sanggup ditulis,
$ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $
atau
$ L_1 + \lambda k = 0 \, $
atau
$ L_2 + \lambda k = 0 $
Catatan:
L1 = Persamaan Lingkaran Pertama
L2= Persamaan Lingkaran Ke-dua
k= garis kuasa antara bulat 1 dan bulat 2
ƛ = konstanta
Bila dalam perhitungan didapatkan nilai ƛ = -1, maka persamaan berkas bulat tersebut akan jadi
$ L_1 - L_2 = 0 \, $
maka ini sama dengan persamaan garis kuasa lingkaran.
Untuk mempermudah pemahaman anda mengenai berkas bulat itu bersama-sama apa, perhatikan gambar di bawah ini,
Lingkaran lain yang melalui titik perpotongan dua lingkaranAdapun langkah untuk memilih persamaan berkas bulat ini sebagai berikut,
- Cari Nilai ƛ
- Subtitusikan ƛ tersebut pada Persamaan Berkas dan sederhanakan.
Contoh Soal dan Pembahasan Berkas Lingkaran
Soal 1. Diketahui dua buah bulat $ L_1 \equiv \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \\ \text {dan} \\ L_2 \equiv \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $ . Tentukanlah persamaan bulat yang melewati titik potong L1 dan L2 dan melalui titik (1,2).Pembahasan:
Langkah 1
Sesuai dengan persamaan berkas Lingkaran maka kita akan dapatkan,
$L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 $
Karena bulat melalui titik (1,2) maka kita subtitusikan nilai x=1 dan y=2 ke persamaan di atas.
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ (1^2 + 2^2 + 4.1 - 2.2 - 11) + \lambda (1^2 + 2^2 - 6.1 - 4.2 + 4) = 0 \\ (1 + 4 + 4 - 4 - 11) + \lambda (1 + 4 - 6 - 8 + 4) = 0 \\ (-6) + \lambda (-5) = 0 \\ \lambda = - \frac{6}{5} $
Langkah 2
Anda telah menemukan konstantan untuk ƛ. Nilai ƛ tersebut kita subtitusikan lagi ke persamaan berkas lingkaran. Namun nilai x dan y dibiarkan saja dalam bentuk variabel.
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{6}{5} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ \text{(kalikan dengan 5)} \\ (5x^2 + 5y^2 + 20x - 10y - 55) + (-6) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 + 20x - 10y - 55 -6x^2 -6 y^2 +36x + 24y -24 = 0 \\ -x^2 -y^2 + 56x +14y - 79=0 \\ \text {kalikan dengan -1} \\ x^2 +y^2 - 56x -14y + 79=0$
Makara persamaan Lingkaran yang melewati titik perpotongan L1 dan L2 dan titik (1,2) atau persamaan berkas lingkarannya adalah: $ x^2 +y^2 - 56x -14y + 79=0$
Soal 2. Diketahui dua buah bulat dengan persamaan:
$ L_1 \equiv \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 $
$ L_2 \equiv \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
Tentukan persamaan bulat gres yang melalui titik potong L1 dan L2 dan berpusat di (1,1)
Pembahasan:
Langkah 1
silakan disusun sesuai rumus persamaan berkas bulat terlebih dahulu.
$ L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} = 0 $
Kenapa ƛ saya kalikan pada persamaan bulat ke dua? Sebab disini kita tidak tahu nilai x,y. Yang diketahui hanyalah titik sentra bulat ke dua.
Anda harus ingat kembali, jikalau sebuah bulat dengan persamaan umum:
$x^2+y^2+Ax+By+C =0$
maka sentra bulat tersebut adalah:
$\left ( -\frac {1}{2}A , -\frac {1}{2}B\right )$
Dari persamaan di atas, saya peroleh persamaan berkas lingkarannya:
$x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} = 0 $
Artinya:
$A = \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ - \frac {1}{2}A = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) $
Nilai dari x sentra diberikan soal $ - \frac {1}{2}A = 1$ Jadi,
$- \frac {1}{2}A = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ 1 = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ 2 (1+ \lambda) = 4-6 \lambda \\ 2+2 \lambda = 4- 6 \lambda \\ \lambda = \frac {1}{4}$
Anda telah menemukan nilai ƛ. Sekarang lanjutkan,
Langkah 2:
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0$
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \frac {1}{4} (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 $
Untuk merapikan persamaan di atas semestinya anda sanggup melakukannya sendiri. Berlatihlah untuk mengasah ketelitian anda. 😇
Soal 3: Tentukanlah persamaan bulat gres dengan sentra yang berada pada garis $x-y=4$ dan melalui titik potong lingkaran:
$L1 \equiv x^2+y^2-2x-2y=34 \\ L2 \equiv x^2+y^2+8x-2y-100=0 $ ?
Pembahasan:
Langkah 1
Susun persamaan bulat sesuai rumus persamaan berkas lingkaran:
$L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} = 0$
Dari persamaan tersebut kita tahu pusatnya yaitu,
$Pusat = \left( -\frac{1}{2}A, - \frac{1}{2}B \right) \\ Pusat = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) \\ Pusat = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
Pusat Lingkaran berada di persamaan garis x-y=4
$x - y = 4 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} -1 = 4 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} = 5 \\ 1 - 4 \lambda = 5(1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda = 5 + 5 \lambda \\ \lambda = - \frac{4}{9} $
Anda telah menemukan nilai ƛ. Berikutnya lanjutkan dengan,
Langkah 2:
Anda subtitusikan nilai ƛ yang diperoleh ke persamaan berkas dan rapikan persamaan tersebut. Selamat berlatih.
Posting Komentar untuk "Rumus Persamaan Berkas Bulat Dan Pola Soal"