Contoh Soal Dan Pembahasan Luas Dan Keliling Irisan 2 Lingkaran
Sebelumnya, pastikan anda telah membaca konsep dasar dan langkah bagaimana cara mencari luas dan keliling irisan dua lingkaran. Tujuannya, supaya anda gampang memahami teladan soal dan pembahasan keliling dan luas area irisan dua bulat ini.
Hitunglah Luas dan Keliling kawasan Irisan Lingkaran dengan persamaan:
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \\ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 $
Langkah 1:
Menentukan jari-jari masing masing Lingkaran,
Berdasarkan persamaan bulat di atas, kita ketahui r1 = 7 dan r2 =3.
Langkah 2:
Menentukan titik potong bulat dan panjang garis MN pada gambar di atas.
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \\ dipecah \\ L_1: x^2 + y^2 + 4x -2y -44 = 0 \\ DAN \\ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 \\dipecah \\ L_2: x^2 + y^2 -12x -2y + 28 = 0 $
Cari titik Potong
Eliminasi kedua persamaan bulat :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 4x -2y -44 = 0 & \\ x^2 + y^2 -12x -2y + 28 = 0 & -\\ \hline 16x -72 = 0 & \\ x = 4,5 & \end{array} $
$ x = 4,5 \, $ substitusi ke salah satu persamaan lingkaran.
$\begin{align} x = 4,5 \rightarrow (x-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (4,5-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ 2,25 + (y-1)^2 & = 9 \\ (y-1)^2 & = 6,75 \\ y -1 & = \pm \sqrt{6,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{6,75} \\ y_1 = 1 -\sqrt{6,75} \vee y_2 & = 1 + \sqrt{6,75} \end{align} $
dan didapat koordinat M ($4,5 ; 1 -\sqrt{6,75}$ ) dan N($4,5 ; 1 + \sqrt{6,75}$)
Panjang garis MN
MN = $ \sqrt{(4,5 -4,5 )^2 + [(1 + \sqrt{6,75}) -(1 -\sqrt{6,75}) ]^2 } = 2\sqrt{6,75} $
Langkah 3:
Menentukan Sudut Pusat ke dua Lingkaran dengan hukum cosinus,
dan didapat:
Sudut MAN:
$\cos \angle MAN= \frac{71}{98} \\ \angle MAN = arc \, \cos \frac{71}{98} \\ \angle MAN = 43,57^\circ = 44^\circ $
Sudut MBN
$ \cos \angle MBN = \frac{-1}{2} \\ \angle MBN = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle MBN = 120^\circ $
Langkah 4:
a) Keliling
Busur MN pada L1:
$ MN = \frac{\angle MAN}{360^\circ} . 2 \pi . r_1 \\ MN = \frac{44^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 7 \\ MN = 5,38 $
Busur MN pada L2
$ MN = \frac{\angle MBN}{360^\circ} . 2 \pi . r \\ MN = \frac{120^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 3 \\ MN = 6,29 $
Keliling total = 5,38 + 6,29 = 11,67
b) Luas Irisan 2 Lingkaran
$ Juring \, AMN = \frac{\angle MAN}{360^\circ} . \pi . r_1^2 \\ Juring \, AMN= \frac{44^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 7^2 \\ Juring \, AMN = 21,39 $
$ \triangle AMN = \frac{1}{2}. AM . AN. \sin \angle MAN \\ \triangle AMN = \frac{1}{2}.7^2 . \sin 44^\circ \\ \triangle AMN = 17,02 $
Tembereng 1 (kuning) = Juring AMN - Segitiga AMN = 21,39 -17,02 = 4,37.
$Juring \, MBN= \frac{\angle MBN}{360^\circ} . \pi . r_2^2 \\ Juring \, MBN = \frac{120^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 3^2 \\ Juring \, MBN = 9,43 $
$ \triangle MBN = \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD \\ \triangle MBN = \frac{1}{2}.3^2 . \sin 120^\circ \\ \triangle MBN = 3,89 $
Tembereng 2 (ungu) = Juring MBN - segitiga MBN=9,43 -3,89 = 5,54.
Luas total =Tembereng 1 (kuning) +Tembereng 2 (ungu)
Luas total = 4,37 + 5,54 = 9,91
Hitunglah Luas dan Keliling kawasan Irisan Lingkaran dengan persamaan:
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \\ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 $
Langkah 1:
Menentukan jari-jari masing masing Lingkaran,
Berdasarkan persamaan bulat di atas, kita ketahui r1 = 7 dan r2 =3.
Menentukan titik potong bulat dan panjang garis MN pada gambar di atas.
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \\ dipecah \\ L_1: x^2 + y^2 + 4x -2y -44 = 0 \\ DAN \\ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 \\dipecah \\ L_2: x^2 + y^2 -12x -2y + 28 = 0 $
Cari titik Potong
Eliminasi kedua persamaan bulat :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 4x -2y -44 = 0 & \\ x^2 + y^2 -12x -2y + 28 = 0 & -\\ \hline 16x -72 = 0 & \\ x = 4,5 & \end{array} $
$ x = 4,5 \, $ substitusi ke salah satu persamaan lingkaran.
$\begin{align} x = 4,5 \rightarrow (x-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (4,5-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ 2,25 + (y-1)^2 & = 9 \\ (y-1)^2 & = 6,75 \\ y -1 & = \pm \sqrt{6,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{6,75} \\ y_1 = 1 -\sqrt{6,75} \vee y_2 & = 1 + \sqrt{6,75} \end{align} $
dan didapat koordinat M ($4,5 ; 1 -\sqrt{6,75}$ ) dan N($4,5 ; 1 + \sqrt{6,75}$)
Panjang garis MN
MN = $ \sqrt{(4,5 -4,5 )^2 + [(1 + \sqrt{6,75}) -(1 -\sqrt{6,75}) ]^2 } = 2\sqrt{6,75} $
Langkah 3:
Menentukan Sudut Pusat ke dua Lingkaran dengan hukum cosinus,
dan didapat:
Sudut MAN:
$\cos \angle MAN= \frac{71}{98} \\ \angle MAN = arc \, \cos \frac{71}{98} \\ \angle MAN = 43,57^\circ = 44^\circ $
Sudut MBN
$ \cos \angle MBN = \frac{-1}{2} \\ \angle MBN = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle MBN = 120^\circ $
Langkah 4:
a) Keliling
Busur MN pada L1:
$ MN = \frac{\angle MAN}{360^\circ} . 2 \pi . r_1 \\ MN = \frac{44^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 7 \\ MN = 5,38 $
Busur MN pada L2
$ MN = \frac{\angle MBN}{360^\circ} . 2 \pi . r \\ MN = \frac{120^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 3 \\ MN = 6,29 $
Keliling total = 5,38 + 6,29 = 11,67
b) Luas Irisan 2 Lingkaran
$ Juring \, AMN = \frac{\angle MAN}{360^\circ} . \pi . r_1^2 \\ Juring \, AMN= \frac{44^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 7^2 \\ Juring \, AMN = 21,39 $
$ \triangle AMN = \frac{1}{2}. AM . AN. \sin \angle MAN \\ \triangle AMN = \frac{1}{2}.7^2 . \sin 44^\circ \\ \triangle AMN = 17,02 $
Tembereng 1 (kuning) = Juring AMN - Segitiga AMN = 21,39 -17,02 = 4,37.
$Juring \, MBN= \frac{\angle MBN}{360^\circ} . \pi . r_2^2 \\ Juring \, MBN = \frac{120^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 3^2 \\ Juring \, MBN = 9,43 $
$ \triangle MBN = \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD \\ \triangle MBN = \frac{1}{2}.3^2 . \sin 120^\circ \\ \triangle MBN = 3,89 $
Tembereng 2 (ungu) = Juring MBN - segitiga MBN=9,43 -3,89 = 5,54.
Luas total =Tembereng 1 (kuning) +Tembereng 2 (ungu)
Luas total = 4,37 + 5,54 = 9,91
Posting Komentar untuk "Contoh Soal Dan Pembahasan Luas Dan Keliling Irisan 2 Lingkaran"