Penyelesaian Integral Fungsi Khusus Dengan Subtitusi Trigonometri

Sebelum lebih lanjut mengenai integral subtitusi untuk fungsi trigonometri ini ada baiknya anda harus paham mengenai integral trigonometri dasar dan rumusnya. Pada dasarnya teknik subtitusi ini yakni memisalkan sebuah fungsi dengan variabel lain. Kemudian fungsi dibutuhkan lebih sederhana dan gampang di integralkan.

Penyederhanaan fungsi yang dimaksud merujuk pada identitas dan invers trigonometri. Rumus identitas yang harus anda ingat kembali adalah,

$ \sin ^2 t + \cos ^2 t = 1 $.

$ 1 + \tan ^2 t = \sec ^2 t $.

$ 1 + \cot ^2 t = \csc ^2 t $.

Sementara rumus invers trigonometri yang saya maksud adalah,

$ \sin t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \sin f(x) $

$ \cos t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \cos f(x) $

$ \tan t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \tan f(x) $

$ \cot t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \cot f(x) $

$ \sec t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \sec f(x) $

$ \csc t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \csc f(x) $

Contoh penggunaan invers ini sebagai berikut,

$ \sin t = \frac{1}{2} \rightarrow t = arc \sin \frac{1}{2} \rightarrow t = 30^\circ $

$ \cos t = 3x \rightarrow t = arc \cos (3x) $

$ \tan t = \frac{x - 2}{5} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x - 2}{5} \right) $

Bentuk Subtitusi Trigonometri

Bentuk umum trigonometri yang akan disubtitusikan sebagai beriku,

Bentuk $ \sqrt{a^2 - b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sin t \, $

Bentuk $ \sqrt{a^2 + b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \tan t \, $

Bentuk $ \sqrt{b^2x^2 - a^2 } , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sec t \, $

Atau secara umum anda perhatikan tabel di bawah ini,

Lebih gampang jikalau anda perhatikan pola soal dan pembahasan integral subtitusi trigonometri di bawah ini.

Soal 1: Hasil dari integral $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx $

Jawab:

Berdasarkan bentuk $ \sqrt{1-x^2} , \, $ ini yakni bentuk pertama dimana a=1. Oleh alasannya yakni itu anda akan gunakan pen-substitusi $ x = \sin t \, $

Ubah/subtitusikan $ x = \sin t $ pada soal.

$ x = \sin t \rightarrow t = arc \sin x $

$ x = \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \cos t \rightarrow dx = \cos t dt $.

$ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-(\sin t) ^2 } = \sqrt{\cos ^2 t } = \cos t $.

Gunakan rumus identitas trigonometri: $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.

juga $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.

dan $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 - x^2 } $

Perhatikan semua penggantian variabel x dan dx menjadi t:

$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx & = \int \frac{(\sin t)^2}{ \cos t } \cos t dt \\ & = \int (\sin t)^2 dt \\ & = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{1}{2} x \sqrt{ 1 - x^2 } + c \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $

Maka diperoleh hasil : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $

Soal 2: Tentukanlah hasil integral $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx $ ?

Jawab:

Bentuknya $ 4 + x^2 , \, $ kedua, dimana a=2 sehingga anda perlu substitusi $ x = 2 \tan t $.

$ x = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) $

$ x = 2 \tan t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.

$ \begin{align} 4 + x^2 & = 4 + (2 \tan t)^2 = 4 + 4 \tan ^2 t = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.

Semua x dan dx pada soal diubah dalam t:

$ \begin{align} \int \frac{1}{4 + x^2} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $

Maka diperoleh hasil: $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $

Soal 3: $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx=... $ ?

Jawab:

Agar gampang fungsi diubah dalam bentuk kuadrat sempurna ,

$ \begin{align} x^2 + 2x + 5 & = (x^2 + 2x + 1 ) + 4 \\ & = (x+1)^2 + 4 \end{align} $

Bentuk $ (x+1)^2 + 4 , \, $ menyerupai bentuk umum kedua, maka anda substitusi $ x + 1 = 2 \tan t $.

$ x + 1 = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x+1}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) $

$ x + 1= 2 \tan t \rightarrow x = 2\tan t - 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.

$ \begin{align} (x+1)^2 + 4 & = (2\tan t)^2 + 4 = 4\tan ^2 t + 4 = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.

Semua variabel x diubah dalam t:

$ \begin{align} \int \frac{1}{(x+1)^2 + 4} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+ 1}{2} \right) + c \end{align} $

Maka diperoleh hasil: $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) + c $