Teorema Identitas Vandermonde
Teorema Vandermonde ini merupakan tiga serangkai dari teorema Identitas Pascal dan Teorema Ekspansi Binomial. Bunyi dari teorema Identitas Vandermonde ini sebagai berikut,
Misalkan m, n, dan r yakni bilangan bundar non-negatif dengan r tidak melebihi salah satu dari m atau n. Maka berlaku,
Pembuktian teorema Vandermonde,
Misalkan ada m anggota himpunan pertama dan n anggota pada himpunan kedua, maka banyaknya cara memilih r elemen dari campuran dua himpunan ini adalah $\begin{pmatrix}m+n \\ r \end{pmatrix}$.
Cara lainnya untuk menentukan r elemen dari campuran himpunan yakni mengambil k elemen dari himpunan kedua lalu r−k elemen dari himpunan kedua, dimana k yakni bilangan bundar dengan 0≤k≤r. Karena ada $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ cara untuk menentukan k elemen dari himpunan kedua DAN
ada$\begin{pmatrix} m \\ r- k \end{pmatrix}$ cara untuk menentukan r−k elemen dari himpunan pertama, maka menurut aturan perkalian, banyaknya cara menentukan r elemen dengan mekanisme ini sanggup dilakukan dengan,
$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ r- k \end{pmatrix}$
Jadi jumlah total banyaknya cara menentukan r elemen dari campuran dua himpunan tersebut adalah
$\sum_{k=0}^{r} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ r- k \end{pmatrix}$
Sudah ditemukan dua mulut dalam perhitungan banyak cara mengambil r elemen dari campuran himpinan m anggota dan n anggota. Penyamaan ekspresi-ekspresi tersebut yang akan memperlihatkan identitas vandermonde. Ini akan melahirkan akibat,
Jika n yakni bilangan bundar nonnegatif, maka
$ \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} ^2$
Pembuktian akhir di atas sebagai berikut,
Dengan memakai identitas Vandermonde dengan n=m=r akan didapat
$ \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$
Karena sesuai identitas binomial
$\begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$
Maka,
$\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} ^2$
Misalkan m, n, dan r yakni bilangan bundar non-negatif dengan r tidak melebihi salah satu dari m atau n. Maka berlaku,
Misalkan ada m anggota himpunan pertama dan n anggota pada himpunan kedua, maka banyaknya cara memilih r elemen dari campuran dua himpunan ini adalah $\begin{pmatrix}m+n \\ r \end{pmatrix}$.
Cara lainnya untuk menentukan r elemen dari campuran himpunan yakni mengambil k elemen dari himpunan kedua lalu r−k elemen dari himpunan kedua, dimana k yakni bilangan bundar dengan 0≤k≤r. Karena ada $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ cara untuk menentukan k elemen dari himpunan kedua DAN
ada$\begin{pmatrix} m \\ r- k \end{pmatrix}$ cara untuk menentukan r−k elemen dari himpunan pertama, maka menurut aturan perkalian, banyaknya cara menentukan r elemen dengan mekanisme ini sanggup dilakukan dengan,
$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ r- k \end{pmatrix}$
Jadi jumlah total banyaknya cara menentukan r elemen dari campuran dua himpunan tersebut adalah
$\sum_{k=0}^{r} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ r- k \end{pmatrix}$
Sudah ditemukan dua mulut dalam perhitungan banyak cara mengambil r elemen dari campuran himpinan m anggota dan n anggota. Penyamaan ekspresi-ekspresi tersebut yang akan memperlihatkan identitas vandermonde. Ini akan melahirkan akibat,
Jika n yakni bilangan bundar nonnegatif, maka
$ \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} ^2$
Pembuktian akhir di atas sebagai berikut,
Dengan memakai identitas Vandermonde dengan n=m=r akan didapat
$ \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$
Karena sesuai identitas binomial
$\begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$
Maka,
$\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} ^2$
Posting Komentar untuk "Teorema Identitas Vandermonde"