Teorema Dasar Kalkulus Integral

Pendekatan nilai integral dengan jumlah Riemann dapat dikatakan cukup susah. Oleh lantaran itu, Newton dan Leibniz berhasil menemukan metode yang lebih sederhana. Inilah yang dikenal dengan Teorema Dasar kalkulus atau teorema dasar kalkulus.

Contoh aplikasi penerapan pengunaan teorema dasar kalkulus ini ialah dalam matematika terapan ialah menghitung luas kawasan dalam lingkup kurva dan menghitung volume benda putar.

Teorema Dasar Kalkulus

Bunyi teorema mendasar kalkulus I dan II sebagai berikut,

Teorema Dasar Kalkulus 1

Jika f kontinu pada interval [a,b] dan x sebarang titik dalam interval tersebut maka berlaku,

$ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $

Teorema Dasar Kalkulus 2

Jika f kontinu pada interval [a,b] dan F anti-turunan dari f pada interval tersebut maka berlaku:

$ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $

Contoh Soal Teorema Fundamental kalkulus (Teorema Dasar Kalkulus)

Contoh 1: $ \frac{d}{dx} \int \limits_{-5}^x (\frac{1}{3}t^2 + 1) dt $

$ \frac{d}{dx} \int \limits_{-5}^x (\frac{1}{3}t^2 + 1) dt $

Ini berarti $ f(t) = \frac{1}{3}t^2 + 1 \ $ sehingga $ f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 1 $

Kaprikornus $ \frac{d}{dx} \int \limits_{-5}^x (\frac{1}{3}t^2 + 1) dt = \frac{1}{3}x^2 + 1 $

Contoh 2: $ \int \limits_{-2}^1 (x + 5) dx $

$ \begin{align} \int \limits_{-2}^1 (x + 5) dx & = [\frac{1}{1+1}x^{1+1} + 5x ]_{-2}^1 \\ & = [\frac{1}{2}x^2 + 5x ]_{-2}^1 \\ & = [\frac{1}{2}(1)^2 + 5.(1) ] - [\frac{1}{2}(-2)^2 + 5.(-2) ] \\ & = [\frac{1}{2} + 5 ] - [\frac{1}{2}(4) - 10 ] \\ & = [\frac{1}{2} + 5 ] - [2 - 10 ] \\ & = [\frac{1}{2} + 5 ] + 8 \\ & = 13\frac{1}{2} \end{align} $

Kaprikornus $ \, \int \limits_{-2}^1 (x + 5) dx = 13\frac{1}{2} $

Contoh 3. Diketahui fungsi $ f(x) = \int \limits_{-1}^x ( t^4 + t - 1) dt , \, $ f'(x) ialah turunan pertama dari fungsi f(x) maka nilai dari f'(1)=...

Pembahasan:

Turunkan $ f(x) = \int \limits_{-1}^x ( t^4 + t - 1) dt , \, $

menurut teorema mendasar kalkulus I.

$ \begin{align} f(x) & = \int \limits_{-1}^x ( t^4 + t - 1) dt \, \, \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ \frac{d}{dx} f(x) & = \frac{d}{dx} \int \limits_{-1}^x ( t^4 + t - 1) dt \\ f^\prime (x) & = x^4 + x - 1 \end{align} $

oleh lantaran itu $ f^\prime (1) = 1^4 + 1 - 1 = 1 $

Kaprikornus $ \, f^\prime (1) = 1 $ Baca juga: Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus.