Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Koefisien Binomial (Ekspansi Binomial)

 Ekspansi binomial merupakan salah satu bentuk kegunaan aplikasi perhitungan kombinasi Koefisien Binomial (Ekspansi Binomial)
Ekspansi binomial merupakan salah satu bentuk kegunaan aplikasi perhitungan kombinasi. Misalkan anda mempunyai $(x+y)^n$ , maka penggunaan perluasan binomial yaitu untuk memilih nilai dari koefisien pembagian terstruktur mengenai perluasan tersebut.

Sebagai  pola sederhana, misalkan
$(x+y)^4 =x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y4$.
Sangat sederhana, anda sanggup memilih perluasan suku suku pembagian terstruktur mengenai dan koefisiennya. Lantas bagaimana jikalau menemukan permasalahan $(x+y)^100$. Bisakah anda memilih koefisien $x^{49}y^{51}$. Inilah bentuk penggunaan kombinasi dalam perluasan binomial. Di sini ada beberapa teorema,

Teorema 1 -Teorema Koefisien Binomial

Misalkan x dan y yaitu variabel, dan n yaitu bilangan bundar non-negatif, maka

Pembuktian teorema ini sanggup mengunakan kombinatorik. Suku pada penjabara $(x+y)^n$ akan berbentuk $ x^{n−j}y^j$ untuk nilai j =0,1,2,...,n. Perhitungan banyaknya suku
Untuk menghitung banyaknya $ x^{n−j}y^j$, perlu dipilih$ (n−j) x $dari n faktor. Oleh alasannya yaitu itu maka koeefisien dari $ x^{n−j}y^j$ yaitu $\begin{pmatrix} n \\  n-j \end{pmatrix}$ yang ekivalen dengan $\begin{pmatrix} n \\  j \end{pmatrix}$

Contoh Soal Ekspansi Binomial 1
Berapakah nilai koefisien dari $x^{12}y^{13}$ pada perluasan $(x+y)^{25}$?

Pembahasan:
Berdasarkan teorema binomial maka koefisien dari $x^{12}y^{13}$ adalah,
$\begin{pmatrix} 25 \\  13 \end{pmatrix}=_{25} C _{13}  = \frac {25!}{13!12!}=5.200.300$

Contoh Soal Ekspansi Binomial 2
Berapakah nilai koefisien dari $x^{12}y^{13}$ pada perluasan $ (2x−3y)^{25}$

Pembahasan:
lisan $(2x−3y)^{25}= (2x+(−3y))^{25}$.
Berdasarkan teorema binomial,
maka $x^{12}y^{13}$ di sanggup pada ketika j=13.
$\begin{pmatrix} 25 \\  13 \end{pmatrix} 2^{12}(−3)^{13}= _{25} C_{13}2^{12}(−3)^{13}=− \frac {25!}{13!12!} 2^{12}3^{13}$

Berikutnya lanjutkan membaca: Teorema 2 - Identitas Segitiga Pascal.

Posting Komentar untuk "Koefisien Binomial (Ekspansi Binomial)"