Soal Proyeksi Vektor, Jarak Titik Serta Luas Segitiga Yang Terbentuk
Mengisi kekosongan sudah usang tidak mengisi blog ini. Berikut ini aku diberikan sebuah soal yang cukup complicated perihal vektor. Soal vektor ini terbilang lengkap sekali, lantaran hanya satu soal tetapi akan diselesaikan banyak pertanyaan.
Soal:
Diketahui titik A (2,-1,6) B(3,0,3) dan C (4,6,2). Tentukan:
a) Sinus ∠ABC,
b) Proyeksi skalar vektor $ \vec {BA}$ terhadap vektor $ \vec {BC}$
c) Proyeksi vektor $ \vec {BC}$ terhadap $ \vec {BA}$
d) Jarak titik A ke $ \vec {BC}$
e) Luas Segitiga ABC
Pembahasan:
a) Sin ∠ABC,
Jika kita skema maka sanggup terlihat menyerupai berikut, (karena sketsa,silakan digambar segitiga sebagaimana hati anda senang)
Di sini akan kita cari sudut B. Sudut B ialah sudut antara BA dan BC, artinya kita butuh vektor BA dan vektor BC. Kita akan cari terlebih dahulu,
$ \vec {BA} = A-B= (2,-1,6) - (3,0,3) = (-1,-1,3)$
$|BA| = \sqrt {(-1)^2+(-1)^2+3^2}= \sqrt {11}$
$ \vec {BC} = C-B= (4,6,2) - (3,0,3) = (1,6,-1)$
$|BC| = \sqrt {1^2+6^2+(-1)^2} = \sqrt {38}$
Sesuai rumus perkalian vektor:
$\vec {BA} . \vec {BC} = | \vec {BA}||\vec {BC}| \cos \angle ABC \\ (-1,-1,3) . (1,6,-1) = \sqrt {11}. \sqrt {38}. \cos \angle ABC \\ -10 = \sqrt {11}. \sqrt {38}. \cos \angle ABC \\ \cos \angle ABC = \frac {-10}{\sqrt {11}. \sqrt {38}}$
Lalu gunakan identitas trigonometri dimana:
$sin^ 2 x+cos^2x =1 \\ sin^2x =1-cos^2x \\ sin^ 2 \angle ABC = 1- cos ^2 \angle ABC \\ 1- (\frac {-10}{\sqrt {11}. \sqrt {38}})^2 = \frac {408}{418} \\ sin \angle ABC = \sqrt {\frac {408}{418}}$
Untuk merasionalkan bentuk akar di atas anda usahakan sendiri ya.
b). Untuk proyeksi skalar vektor, perhatikan ini terlebih dahulu,
Sekarang kita akan cari Proyeksi skalar vektor $ \vec {BA}$ terhadap vektor $ \vec {BC}$, dengan demikian sanggup diadaptasi rumusnya,
$| \vec p| = \frac {\vec {BA}.\vec {BC}} { |\vec {BC}} \\ | \vec p| = \frac {-10}{ \sqrt {38}}$
Anda lanjutkan merasionalkan bentuk akar tersebut kembali. Untuk nilai $\vec {BA}.\vec {BC}=-10$ kita sudah cari pada bab soal a bukan?
c) Proyeksi vektor $ \vec {BC}$ terhadap $ \vec {BA}$
Perjatikan rumus di bab b, rumus kedua. Karena TERHADAP $\vec {BA}$, kita sanggup tulis rumusnya (bagian sehabis kata 'terhadap'/ke/pada/' selalu jadi penyebut).
$ \vec p = \frac {\vec {BC}.\vec {BA}} { |\vec {BA}|^2}. \vec {BA} \\ \vec p= \frac {-10}{ 11} (-1,-1,3) $
d) Jarak titik A ke vektor $ \vec {BC}$
Jarak titik A ke BC, sebelumnya perhatikan gambar di bawah ini.
Jarak titik A ke BC ditunjukkan oleh garis merah, misalkan dengan x. Kita akan cari nilai x tersebut.
Anda sanggup perhatikan ada garis biru. Garis biru tersebut ialah panjang proyeksi (proyeksi skalar) vektor BA terhadap BC.
Panjang garis Biru (proyeksi skalar BA pada BC) anda telah cari disoal b, yaitu
$| \vec p| = \frac {-10}{ \sqrt {38}}$ (nilai negatif sanggup diabaikan, lantaran dalam panjang-tidak mengenal negatif.
Sekarang aku potong segitiga tersebut,
Catatan:
Panjang AB anda telah cari di soal (a)
Panjang garis biru di soal (b)
Ditemukan segitiga siku-siku, alasannya ialah prinsip jarak titik ke garis " ditarik-garis melewati titik dan TEGAK LURUS sehingga memotong garis yang ada".
Anda kini mempunyai segitiga siku siku dengan dua sisi diketahui panjangnya. Maka- kembalilah pada Teorema Phytagoras yang tidak usah aku jelaskan lagi.
d) Luas Segitiga ABC
Kebetulan yang meringankan, anda mempunyai sinus sudut B. Sekarang sanggup anda cari luas segitiga dengan memakai rumus luas segitiga yang diketahui sudut dan 2 sisi apitnya.
Kita ketahui sisi apit BA dan BC, kemudian sinus-nya B. Maka rumus luas segitiga:
$L=\frac {1}{2} | \vec {BA} | | \vec {BC} \sin \angle ABC$
Keterangan: Masing masing nilai panjang BA, panjang BC dan Sin ∠ABC, anda sudah dapatkan saat menjawab soal a. Sekarang silakan dilanjutkan berhitung sendiri.
Soal:
Diketahui titik A (2,-1,6) B(3,0,3) dan C (4,6,2). Tentukan:
a) Sinus ∠ABC,
b) Proyeksi skalar vektor $ \vec {BA}$ terhadap vektor $ \vec {BC}$
c) Proyeksi vektor $ \vec {BC}$ terhadap $ \vec {BA}$
d) Jarak titik A ke $ \vec {BC}$
e) Luas Segitiga ABC
Pembahasan:
a) Sin ∠ABC,
Jika kita skema maka sanggup terlihat menyerupai berikut, (karena sketsa,silakan digambar segitiga sebagaimana hati anda senang)
$ \vec {BA} = A-B= (2,-1,6) - (3,0,3) = (-1,-1,3)$
$|BA| = \sqrt {(-1)^2+(-1)^2+3^2}= \sqrt {11}$
$ \vec {BC} = C-B= (4,6,2) - (3,0,3) = (1,6,-1)$
$|BC| = \sqrt {1^2+6^2+(-1)^2} = \sqrt {38}$
Sesuai rumus perkalian vektor:
$\vec {BA} . \vec {BC} = | \vec {BA}||\vec {BC}| \cos \angle ABC \\ (-1,-1,3) . (1,6,-1) = \sqrt {11}. \sqrt {38}. \cos \angle ABC \\ -10 = \sqrt {11}. \sqrt {38}. \cos \angle ABC \\ \cos \angle ABC = \frac {-10}{\sqrt {11}. \sqrt {38}}$
Lalu gunakan identitas trigonometri dimana:
$sin^ 2 x+cos^2x =1 \\ sin^2x =1-cos^2x \\ sin^ 2 \angle ABC = 1- cos ^2 \angle ABC \\ 1- (\frac {-10}{\sqrt {11}. \sqrt {38}})^2 = \frac {408}{418} \\ sin \angle ABC = \sqrt {\frac {408}{418}}$
Untuk merasionalkan bentuk akar di atas anda usahakan sendiri ya.
b). Untuk proyeksi skalar vektor, perhatikan ini terlebih dahulu,
$| \vec p| = \frac {\vec {BA}.\vec {BC}} { |\vec {BC}} \\ | \vec p| = \frac {-10}{ \sqrt {38}}$
Anda lanjutkan merasionalkan bentuk akar tersebut kembali. Untuk nilai $\vec {BA}.\vec {BC}=-10$ kita sudah cari pada bab soal a bukan?
c) Proyeksi vektor $ \vec {BC}$ terhadap $ \vec {BA}$
Perjatikan rumus di bab b, rumus kedua. Karena TERHADAP $\vec {BA}$, kita sanggup tulis rumusnya (bagian sehabis kata 'terhadap'/ke/pada/' selalu jadi penyebut).
$ \vec p = \frac {\vec {BC}.\vec {BA}} { |\vec {BA}|^2}. \vec {BA} \\ \vec p= \frac {-10}{ 11} (-1,-1,3) $
d) Jarak titik A ke vektor $ \vec {BC}$
Jarak titik A ke BC, sebelumnya perhatikan gambar di bawah ini.
Anda sanggup perhatikan ada garis biru. Garis biru tersebut ialah panjang proyeksi (proyeksi skalar) vektor BA terhadap BC.
Panjang garis Biru (proyeksi skalar BA pada BC) anda telah cari disoal b, yaitu
$| \vec p| = \frac {-10}{ \sqrt {38}}$ (nilai negatif sanggup diabaikan, lantaran dalam panjang-tidak mengenal negatif.
Sekarang aku potong segitiga tersebut,
Panjang AB anda telah cari di soal (a)
Panjang garis biru di soal (b)
Ditemukan segitiga siku-siku, alasannya ialah prinsip jarak titik ke garis " ditarik-garis melewati titik dan TEGAK LURUS sehingga memotong garis yang ada".
Anda kini mempunyai segitiga siku siku dengan dua sisi diketahui panjangnya. Maka- kembalilah pada Teorema Phytagoras yang tidak usah aku jelaskan lagi.
d) Luas Segitiga ABC
Kebetulan yang meringankan, anda mempunyai sinus sudut B. Sekarang sanggup anda cari luas segitiga dengan memakai rumus luas segitiga yang diketahui sudut dan 2 sisi apitnya.
Kita ketahui sisi apit BA dan BC, kemudian sinus-nya B. Maka rumus luas segitiga:
$L=\frac {1}{2} | \vec {BA} | | \vec {BC} \sin \angle ABC$
Keterangan: Masing masing nilai panjang BA, panjang BC dan Sin ∠ABC, anda sudah dapatkan saat menjawab soal a. Sekarang silakan dilanjutkan berhitung sendiri.
Posting Komentar untuk "Soal Proyeksi Vektor, Jarak Titik Serta Luas Segitiga Yang Terbentuk"