Sifat-Sifat Integral Tertentu Dan Referensi Soal

Perhitungan dalam integral tentu didasarkan pada Teorema Fundamental Kalkulus II. Adapun dasar tersebut dijelaskan sebagai berikut,

Bila $ f $ kontinu pada $ [a, b] $ dan $ F $ yaitu anti-turunan $ f $ pada $ [a, b]$,

maka berlaku : $ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $

Lebih jelasnya sanggup diperhatikan teladan di bawah ini,

Contoh 1. $ \int 3x^2 - 4x + 1 dx $

Bentuk $ \int 3x^2 - 4x + 1 dx \, $ disebut integral tak tentu sebab tidak ada batasnya.

Hasilnya : $ \int 3x^2 - 4x + 1 dx = \frac{3}{2+1}x^{2+1} - \frac{4}{1+1}x^{1+1} + x + c = x^3 - 2x^2 + x + c $

Contoh 2. $ \int \limits_0^2 3x^2 - 4x + 1 dx $

Bentuk $ \int \limits_0^2 3x^2 - 4x + 1 dx \, $ yaitu integral tertentu dengan batas bawah $ 0 \, $ dan batas atas $ 2 $.

Hasilnya sanggup dihitung sebagai berikut,

$ \begin{align} \int \limits_0^2 3x^2 - 4x + 1 dx & = [x^3 - 2x^2 + x]_0^2 \\ & = F(2) - F(0) \\ & = [2^3 - 2.2^2 + 2] - [0^3 - 2.0^2 + 0] \\ & = [8 - 8 + 2] - [0 - 0 + 0] \\ & = [ 2] - [0 ] \\ & = 2 \end{align} $

Kaprikornus $ \int \limits_0^2 3x^2 - 4x + 1 dx = 2 $

Sifat Integral Tertentu

1). $ \int \limits_a^b k f(x) dx = k \int \limits_a^b f(x) dx $
2). $ \int \limits_a^b [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
3). $ \int \limits_a^b [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_a^b f(x) dx - \int \limits_a^b g(x) dx $
4). $ \int \limits_a^b f(x) dx = - \int \limits_b^a f(x) dx $
5). $ \int \limits_a^a f(x) dx = 0 $
6). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx \, , $ dengan $ a < c < b $
7). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx $
8). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx $

Contoh Soal Integral Tertentu dan Pembahasan

Soal 1. $ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx $

$ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx $

Integral fungsi trigonometri :

$ \int \sin x = -\cos x + c \, $ dan $ \int \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 2x $.

Penyelesaian sanggup ditulis:

$ \begin{align} \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx & = [-\cos x + \frac{1}{2} \sin 2x ]_0^{30^\circ} \\ & = [-\cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 2 . 30^\circ ] - [-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin 2. 0 ] \\ & = [-\cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 60^\circ ] - [-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin 0 ] \\ & = [-\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} .\frac{1}{2}\sqrt{3} ] - [- 1 + 0 ] \\ & = [-\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sqrt{3} ] + 1 \\ & = [-\frac{2}{4}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sqrt{3} ] + 1 \\ & = [-\frac{1}{4}\sqrt{3} ] + 1 \\ & = 1 -\frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $

Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx = 1 -\frac{1}{4}\sqrt{3} $

Soal 2. $ \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx $

Gunakan Teknik Integral substitusi misal $ u = x^2 + 1 \rightarrow u^\prime = 2x $

$ \begin{align} \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx & = \int \limits_0^1 2x\sqrt{ u } \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int 2x\sqrt{ u } \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int 2x\sqrt{ u } \frac{du}{ 2x } \\ & = \int \sqrt{ u } du \\ & = \int u^\frac{1}{2} du \\ & = \frac{2}{3} u^\frac{3}{2} \\ & = [\frac{2}{3} (x^2 + 1) ^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [\frac{2}{3} (1^2 + 1) ^\frac{3}{2} ] - [\frac{2}{3} (0^2 + 1) ^\frac{3}{2} ] \\ & = [\frac{2}{3} (2) ^\frac{3}{2} ] - [\frac{2}{3} ( 1) ^\frac{3}{2} ] \\ & = [\frac{2}{3} 2^1 . (2) ^\frac{1}{2} ] - [\frac{2}{3} ] \\ & = [\frac{2}{3} 2 . \sqrt{2}] - [\frac{2}{3} ] \\ & = \frac{2}{3} ( 2 \sqrt{2} - 1) \end{align} $

Kaprikornus $ \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx = \frac{2}{3} ( 2 \sqrt{2} - 1) $

Soal 3. Diketahui $ \frac{df(x)}{dx} = g(x) \, $ kontinu pada interval $ p \leq x \leq q \, $ , maka nilai dari $ \int \limits_p^q f(x)g(x) dx $

$ \frac{df(x)}{dx} = g(x) \, $ artinya $ f^\prime (x) = g(x) $.

Misal $ u = f(x) \rightarrow u^\prime = f^\prime (x) = g(x) $

Penyelesaian:

$ \begin{align} \int \limits_p^q f(x)g(x) dx & = \int \limits_p^q u . g(x) \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int u . g(x) \frac{du}{g(x)} \\ & = \int u du \\ & = \frac{1}{2} u^2 + c \\ & = [\frac{1}{2} [f(x)]^2 ]_p^q \\ & = [\frac{1}{2} [f(q)]^2 ] - [\frac{1}{2} [f(p)]^2 ] \\ & = \frac{[f(q)]^2 - [f(p)]^2}{2} \end{align} $

Kaprikornus $ \int \limits_p^q f(x)g(x) dx = \frac{[f(q)]^2 - [f(p)]^2}{2} $

Soal 4. Gunakan Sifat Integral Tertentu untuk Menyelesaiakan!

a) $ \int \limits_1^5 3 (x^2- 1) dx $

b) $ \int \limits_1^5 x^3 + 2x dx $

c) $ \int \limits_1^5 x^3 - 2x dx $

d) $ \int \limits_1^5 x^5 + 2x - 1 dx $

e) $ \int \limits_1^1 x^5 + 2x - 1 dx $

f) $ \int \limits_1^9 (x^3 + 3x ) dx $

g) $ \int \limits_1^7 (x^3 + 3x ) dx $

h) $ \int \limits_{1000}^{1007} (x^3 + 3x ) dx $ .

Penyelesaian:

a). Sifat (1) : $ \int \limits_1^5 3 (x^2- 1) dx = 3 \int \limits_1^5 (x^2- 1) dx $

b). Sifat (2) : $ \int \limits_1^5 x^3 + 2x dx = \int \limits_1^5 x^3 dx + \int \limits_1^5 2x dx $

c). Sifat (3) : $ \int \limits_1^5 x^3 - 2x dx = \int \limits_1^5 x^3 dx - \int \limits_1^5 2x dx $

d). Sifat (4) : $ \int \limits_1^5 x^5 + 2x - 1 dx = - \int \limits_5^1 x^5 + 2x - 1 dx $

e). Sifat (5) : $ \int \limits_1^1 x^5 + 2x - 1 dx = 0 $

f). Sifat (6) : $ \int \limits_1^9 (x^3 + 3x ) dx = \int \limits_1^5 (x^3 + 3x ) dx + \int \limits_5^9 (x^3 + 3x ) dx $

g). Sifat (7) : $ \int \limits_1^7 (x^3 + 3x ) dx = \int \limits_{1+5}^{7+5} ((x-5)^3 + 3(x-5) ) dx = \int \limits_{6}^{12} ((x-5)^3 + 3(x-5) ) dx $

h). Sifat (8) :

$ \begin{align} \int \limits_{1000}^{1007} (x^3 + 3x ) dx & = \int \limits_{1000-1000}^{1007 -1000} ((x+1000)^3 + 3(x+1000) ) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} ((x+1000)^3 + 3(x+1000) ) dx \end{align} $

Soal 5. Diketahui $ \int \limits_1^b (2x - 3) dx = 12 \, $ dengan $ b > 0 \, $ , maka nilai $ b = .... $

Penyelesaian:

$ \begin{align} \int \limits_1^b (2x - 3) dx & = 12 \\ [x^2 - 3x ]_1^b & = 12 \\ [b^2 - 3b ] - [1^2 - 3.1 ] & = 12 \\ [b^2 - 3b ] - [1 - 3 ] & = 12 \\ b^2 - 3b - 10 & = 0 \\ (b +2)(b - 5) & = 0 \\ b = -2 \vee b & = 5 \end{align} $

Karena disyaratkan $ b > 0 \, $ penyelesaian yang memenuhi $ b = 5 $.

Soal 6. Jika $ \int \limits_0^3 f(x) dx = -4 \, $ dan $ \int \limits_0^9 f(x) dx = 16 \, $ , tentukan nilai $ \int \limits_3^9 f(x) dx $

Pembahasan:

Gunakan sifat integral tentu (6) : $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx $

Akan dipecah selang tersebut jadi dua potongan yaitu 0 hingga 3 dan 3 hingga 9.

$ \begin{align} \int \limits_0^9 f(x) dx & = \int \limits_0^3 f(x) dx + \int \limits_3^9 f(x) dx \\ 16 & = -4 + \int \limits_3^9 f(x) dx \\ \int \limits_3^9 f(x) dx & = 16 + 4 \\ \int \limits_3^9 f(x) dx & = 20 \end{align} $

Nilai $ \int \limits_3^9 f(x) dx = 20 $

Soal 7. Diketahui $ \int \limits_0^2 3f(x) dx = 6 \, $ dan $ \int \limits_4^2 4f(x) dx = 20 \, $ , tentukan nilai $ 5\int \limits_0^4 f(x) dx $

Pembahasan

Sederhanakan dengan sifat integral tentu yang pertama :

$ \int \limits_0^2 3f(x) dx = 6 \rightarrow 3 \int \limits_0^2 f(x) dx = 6 \rightarrow \int \limits_0^2 f(x) dx = \frac{6}{3} = 2 $

$ \int \limits_4^2 4f(x) dx = 20 \rightarrow 4 \int \limits_4^2 f(x) dx = 20 \rightarrow \int \limits_4^2 f(x) dx = \frac{20}{4} = 5 $

Gunakan Sifat (4) : $ \int \limits_2^4 f(x) dx = - \int \limits_4^2 f(x) dx = -5 $

Pergunakan sifat (6) : $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx $

akan diPecah batas dari 0 hingga 4 menjadi dua potongan yaitu 0 hingga 2 dan 2 hingga 4.

$ \begin{align} 5\int \limits_0^4 f(x) dx & = 5[ \int \limits_0^2 f(x) dx + \int \limits_2^4 f(x) dx ] \\ & = 5[ 2 + (-5) ] \\ & = 5[ -3 ] \\ & = -15 \end{align} $

Nilai $ 5\int \limits_0^4 f(x) dx = -15 $

Soal 8. Jika $ \int \limits_0^7 (x + 5) dx = a , \, $ Nyatakanlah bentuk $ \int \limits_{1000}^{1007} (2x - 2005) dx \, $ dalam $ a $

Pembahasan:

Relasikan dengan sifat (8)

$ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx $

Soal diubah dimana dikurangkan 1000 ada batasnya

$ \begin{align} \int \limits_{1000}^{1007} (2x - 2005) dx & = \int \limits_{1000-1000}^{1007-1000} (2(x+1000) - 2005) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x+2000 - 2005) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x - 5 ) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2x + (10 - 10) - 5 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x + 10 ) - 10 - 5 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2(x + 5 ) - 15 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2(x + 5 ) dx - \int \limits_{0}^{7} 15 dx \\ & = 2 \int \limits_{0}^{7} (x + 5 ) dx - [15x]_0^7 \\ & = 2 a - ([15.7] - [15.0]) \\ & = 2 a - ( 105 - 0 ) \\ & = 2 a - 105 \end{align} $

dan diperoleh $ \int \limits_{1000}^{1007} (2x - 2005) dx = 2 a - 105 $

Soal 9: Fungsi kecepatan dari suatu objek yaitu $ V(t) = \left\{ \begin{array}{cc} 3t & \text{ kalau } 0 \leq t \leq 1 \\ 3 & \text{ kalau } 1 \leq t \leq 6 \end{array} \right. $

Asumsikan objek berada pada titik (0,0) pada ketika $ t = 0 \, $ , carilah posisi objek pada ketika $ t = 5 $ ?

Pembahaan:

Diketahui $ V(t) = \frac{ds}{dt} \, $ , jadi $ s(t) = \int V(t) dt $.

Posisi benda pada ketika $ t = 5 $

$ \begin{align} s & = \int \limits_0^5 V(t) dt \\ & = \int \limits_0^1 3t dt + \int \limits_1^5 3 dt \\ & = [\frac{3}{2}t^2]_0^1 + [3t]_1^5 \\ & = ([\frac{3}{2}.1^2] - [\frac{3}{2}.0^2]) + ([3.5] - [3.1]) \\ & = ([\frac{3}{2}] - [0]) + ([15] - [3]) \\ & = (\frac{3}{2} ) + (12) \\ & = 13\frac{1}{2} \end{align} $

Jadi, posisi objek pada ketika $ t = 5 \, $ yaitu $ 13\frac{1}{2} \, $ sautan