Pembuktian Teorema Dasar Kalkulus I

Teorema yang akan digunakan untuk pembuktian teorema dasar kalkulus (disebut juga teorema fundamental) ini ialah sifat penambahan interval pada sebuah integral.
(i) Bila f adalah fungsi yang di integralkan pada interval tertentu dan memuat a,b dan c, maka: $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $ .

(ii) Sementara itu turunan fungsi F bisa ditulis
$ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x) $

(iii) teorema apit
Jika $ k \leq f(x) \leq k , \, $ maka $ f(x) = k $

Pembuktian Teorema Dasar Kalkulus I

Bunyi teorema mendasar kalkulus 1 yaitu,
Jika f kontinu pada [a, b] dan x sebarang titik di (a, b),maka berlaku : $ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $

Pembuktian:
Dinyatakan $ F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt , \, $ maka bentuk
$ \begin{align} F(x+h) & = \int \limits_a^{x+h} f(t) dt \\ & = \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \, \, \, \, \, \text{....pers(1)} \end{align} $
dimana h adalah bilangan real positif.

Pengurangan $ F(h+h) $ dengan $ F(x) $,
$ \begin{align} F(x+h) - F(x) & = \left( \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \right) - \left( \int \limits_a^x f(t) dt \right) \\ F(x+h) - F(x) & = \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \end{align} $
Misalkan:
m = nilai minimum fungsi f(x) untuk x di [a,b]
M = nilai maksimum fungsi f(x) untuk x di [a,b]
Ditunjukkan oleh gambar di bawah ini,

Jika diperhatikan gambar di atas, luas tempat A,B dan C sanggup didefenisikan sebagai berikut,
Luas A = $ p \times l = m \times h $
Luas B = luas dibawah kurva $ y = f(t) \, $ = $ \int \limits_x^{x+h} f(t) dt = F(x+h) - F(x) $
Luas C = $ p \times l = M \times h $

Dari tempat di atas, anda juga niscaya tahu hubungannya menyerupai berikut,

$ \begin{align} \text{Luas A } \leq \, & \text{ Luas B } \leq \text{ Luas C} \\ m\times h \leq \, & F(x+h) - F(x) \leq M \times h \, \, \, \, \, \text{(bagi } h ) \\ \frac{m\times h}{h} \leq \, & \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \frac{M \times h }{h} \\ m \leq \, & \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq M \, \, \, \, \, \text{(beri limit)} \\ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \end{align}$

Saat Nilai h sangat kecil dan mendekati 0, maka

$ \displaystyle \lim_{h \to 0} m = \displaystyle \lim_{h \to 0} M = f(x) $ . Sehingga bentuk $ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \, $ menjadi $ f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x) $

Merujuk pada teorema apit:

$ f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x) \, $ didapatkan

$ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x) $

Dari Defenisi Turunan

$ F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ :

Definisi turunan : $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x) $

Terakhir penyelesain pembuktian ditulis,

$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} & = f(x) \\ \frac{d}{dx}F(x) & = f(x) \, \ , \, \, \, \, \, \text{ (substitusi } F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt ) \\ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt & = f(x) \end{align} $

Terbukti $ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $

Berikutnya: Pembuktian Teorema Dasar Kalkulus II