Menentukan Volume Benda Putar Dengan Integral (Metode Kulit Tabung)

Untuk memilih volume benda putar dengan integral dapat dipakai 2 metode atau cara. Metode tersebut yakni metode cakram (Baca: Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral (Metode Cakram) dan metode kulit tabung. Menambahkan pilihan dari metode sebelumnya, pada halaman ini akan diuraikan bagaimana cara menghitung volume benda putar dengan metode Kulit Tabung.

Volume tempat 1 Kurva

Perhatikan dua gambar di bawah ini, misalkan tempat awal bubuk abu, dan hasil pemutaran dengan warna kuning,

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ adalah

$Volume \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b xf(x) dx $

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ x = f(y) , \, y = a, \, y = b, \, $ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $ 360^\circ \, $ adalah

$ Volume\, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b f(y) . y dy $

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 1. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = -x^3 + 4x , \, x = 0, \, x = 1 , \, $ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y $ 360^\circ $ !

Pembahasan:

Jika gambarkan akan diperoleh,

Volume dapat dihitung sebagai berikut,

$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b xy dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 x(-x^3 + 4x) dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 (-x^4 + 4x^2) dx \\ & = 2\pi [\frac{-1}{5}x^5 + \frac{4}{3}x^3]_0^1 \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5}.1^5 + \frac{4}{3}.1^3] - [\frac{-1}{5}.0^5 + \frac{4}{3}.0^3]) \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5} + \frac{4}{3} ] - [0]) \\ & = 2\pi ( \frac{-3}{15} + \frac{20}{15} ) \\ & = 2\pi ( \frac{17}{15} ) \\ & = \frac{34}{15} \pi \\ & = 2\frac{4}{15} \pi \end{align} $

Volume Daerah dibatasi 2 Kurva

Untuk menghitung volume benda putar dengan metode kulit tabung pada kasus dua kurva anda dapat gunakan rumus berikut.

Diputar Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ x = f(y) , \, x = g(y) , \, y = a, \, y = b, \, $ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(y)| \geq |g(y)| \, $ adalah

$ Volume\, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b [f(y) - g(y)] y dy $

Diputar Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, y = g(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(x)| \geq |g(x)| \, $ yakni

$ Volume \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) - g(x)] dx $

Contoh Soal dan Penyelesaian

Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = \frac{1}{3}x^2 , \, y = x , \, x = 0, \, x = 2 , \, $ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y $ 360^\circ $ !

Pembahasan:

Jika digambarkan akan diperoleh bentuk tempat asal,

Volume kalau area tersebut diputar terhadap sumbu y dapat dihitung sebagai berikut,

$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) - g(x)] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 x[x - \frac{1}{3}x^2] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 (x^2 - \frac{1}{3}x^3) dx \\ & = 2\pi [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{12}x^4]_0^2 \\ & = 2\pi ( [\frac{1}{3}.2^3 - \frac{1}{12}.2^4] - [\frac{1}{3}.0^3 - \frac{1}{12}.0^4] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{8}{3} - \frac{4}{3} ] - [0] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{4}{3} ] ) \\ & = \frac{8}{3} \pi \\ & = 2\frac{2}{3} \pi \end{align} $