Materi Dan Teladan Soal Pertidaksamaan Eksponen
Ciri Ciri sebuah pertaksamaan yakni mengandung tanda penghubung > , < , ≥, ≤, ≠. Sementara defenisi sederhana mengenai eksponen dapat dikatakan sebagai pangkat bilangan. Dalam penyelesaian pertaksamaan eksponen ini nantinya, tentu anda diharuskan tahu betul sifat sifat eksponen atau perpangkatan. Kemudian pastikan juga anda sudah memahami ihwal penyelesaian persamaan eksponen.
Selain itu, aku di sini tak akan jelaskan lagi bagaimana menuntaskan (mencari tempat penyelesaian) sebuah pertidak samaan. Kita akan fokus ihwal bagaimana menuntaskan pertidaksamaan eksponen saja.
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} $ maka penyelesaiannya dapat dibuat dengan melihat nilai a tersebut. Lebih rinci,
Untuk a>1
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) \leq g(x) $
Bisa diperhatikan di atas, bentuk pertaksamaan pangkat tidak berubah.
Untuk 0<a<1
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) \leq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) \geq g(x) $
Bisa diperhatikan bentuk pertaksamaan berubah.
Agar memudahkan, anda dapat lihat pola cara penyelesaian pertaksamaan eksponen di bawah ini beserta langkahnya.
Pembahasan:
$\begin{align} 9^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ (3^2)^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ 3^{2x-2} & < 3^{-x+2} \\ \text{(nilai sesuai rumus } a & = 3 > 1 , \text{ tanda tidak berubah)} \\ 2x-2 & < -x + 2 \\ 3x & < 4 \\ x & < \frac{4}{3} \end{align} $
Makara Daerah Penyelesaiannya = $ \{ x < \frac{4}{3} \} $
Soal 2. $ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} $ ?
Pembahasan:
$\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3-3x} \\ \text{(nilai } a & = \frac{1}{2} < 1 , \text{ tanda pertaksamaan diganti)} \\ x-2 & \leq 3-3x \\ 4x & \leq 5 \\ x & \leq \frac{5}{4} \end{align} $
Makara tempat penyelesaiannya = $ \{ x \leq \frac{5}{4} \} $
Soal 3: $ 3^{x^2-x+1} \leq 9^{x+\frac{5}{2}} $ ?
Pembahasan :
$\begin{align} 3^{x^2-x+1} & \leq 9^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq (3^2)^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq 3^{2x+5} \\ \text{(nilai } a & = 3 > 1 , \text{ tanda tidak berubah)} \\ x^2-x+1 & \leq 2x+5 \\ x^2 - 3x - 4 & \leq 0 \\ (x+1)(x-4) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 4 \end{align} $
Lanjut dibuat dalam garis bilangan untuk mencari tempat penyelesaian.
Makara tempat Penyelesaiannya = $ \{ -1 \leq x \leq 4 \} $
Soal 4: $ 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 > 0 $ ?
Pembahasan:
$\begin{align} 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2^2x.2^1 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.2^2x - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.(2^x)^2 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ \text{(misalkan } p = 2^x & , \text{ substitusikan)} \\ 2.(p)^2 - 17.p + 8 & > 0 \\ 2p^2 - 17p + 8 & > 0 \\ (2p-1)(p-8) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p=\frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \\ 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p=8 \rightarrow 2^x & = 8 \\ 2^x & = 2^3 \\ x & = 3 \end{align} $
Lanjutkan dengan menciptakan garis bilangan,
Selain itu, aku di sini tak akan jelaskan lagi bagaimana menuntaskan (mencari tempat penyelesaian) sebuah pertidak samaan. Kita akan fokus ihwal bagaimana menuntaskan pertidaksamaan eksponen saja.
Penyelesaian Pertidaksamaan Eksponen
Jika $ a \in R, \, $ dan $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ , membentuk pertaksamaan:$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} $ maka penyelesaiannya dapat dibuat dengan melihat nilai a tersebut. Lebih rinci,
Untuk a>1
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) \leq g(x) $
Bisa diperhatikan di atas, bentuk pertaksamaan pangkat tidak berubah.
Untuk 0<a<1
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) \leq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ penyelesaiannya $ f(x) \geq g(x) $
Bisa diperhatikan bentuk pertaksamaan berubah.
Agar memudahkan, anda dapat lihat pola cara penyelesaian pertaksamaan eksponen di bawah ini beserta langkahnya.
Contoh Soal Pertaksamaan eksponen
Soal 1. $ 9^{x-1} < 3^{-x+2} \, $ ?Pembahasan:
$\begin{align} 9^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ (3^2)^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ 3^{2x-2} & < 3^{-x+2} \\ \text{(nilai sesuai rumus } a & = 3 > 1 , \text{ tanda tidak berubah)} \\ 2x-2 & < -x + 2 \\ 3x & < 4 \\ x & < \frac{4}{3} \end{align} $
Makara Daerah Penyelesaiannya = $ \{ x < \frac{4}{3} \} $
Soal 2. $ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} $ ?
Pembahasan:
$\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3-3x} \\ \text{(nilai } a & = \frac{1}{2} < 1 , \text{ tanda pertaksamaan diganti)} \\ x-2 & \leq 3-3x \\ 4x & \leq 5 \\ x & \leq \frac{5}{4} \end{align} $
Makara tempat penyelesaiannya = $ \{ x \leq \frac{5}{4} \} $
Soal 3: $ 3^{x^2-x+1} \leq 9^{x+\frac{5}{2}} $ ?
Pembahasan :
$\begin{align} 3^{x^2-x+1} & \leq 9^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq (3^2)^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq 3^{2x+5} \\ \text{(nilai } a & = 3 > 1 , \text{ tanda tidak berubah)} \\ x^2-x+1 & \leq 2x+5 \\ x^2 - 3x - 4 & \leq 0 \\ (x+1)(x-4) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 4 \end{align} $
Lanjut dibuat dalam garis bilangan untuk mencari tempat penyelesaian.
Soal 4: $ 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 > 0 $ ?
Pembahasan:
$\begin{align} 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2^2x.2^1 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.2^2x - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.(2^x)^2 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ \text{(misalkan } p = 2^x & , \text{ substitusikan)} \\ 2.(p)^2 - 17.p + 8 & > 0 \\ 2p^2 - 17p + 8 & > 0 \\ (2p-1)(p-8) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p=\frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \\ 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p=8 \rightarrow 2^x & = 8 \\ 2^x & = 2^3 \\ x & = 3 \end{align} $
Lanjutkan dengan menciptakan garis bilangan,
Posting Komentar untuk "Materi Dan Teladan Soal Pertidaksamaan Eksponen"