Langkah Dan Cara Menuntaskan Integral Fungsi Pecah

Salah satu teknik integral yang akan dipakai dalam penyelesaian soal integral yaitu integral fungsi pecah atau dikenal juga dengan istilah partial fractions. Dalam teknik ini agak sedikit menguji kreativitas untuk memecah bentuk pecahan menjadi dua bagian.

Cara Memecah Fungsi menjadi Partial Fractions

Semisal anda mempunyai fungsi dalam bentuk pecahan, maka fungsi yang berperan sebagai penyebut difaktorkan, kemudian dibentuk dalam bentuk umum

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} $

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^2} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} $

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^3} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} + \frac{D}{(a_2x + b_2)^3} $

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3) } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} $

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2 } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} + \frac{Dx + E}{(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2} $dst

Akan sedikit membingungkan bagi anda kalau hanya melihat rumus di atas. Coba anda perhatikan pola soal fungsi pecah di bawah ini,

Contoh 1: $ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} $

Penyebut difaktorkan:

$ x^2 - 2x - 8 = (x+2)(x-4) $.

Bagi menjadi dua bagian,

$ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{ x - 3}{(x+2)(x-4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ & = \frac{A(x-4) + B(x+2)}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{Ax - 4A + Bx + 2B}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{(A+B)x - 4A + 2B}{x^2 - 2x - 8} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{(A+B)x - 4A + 2B}{x^2 - 2x - 8} \\ x - 3 & = (A+B)x - 4A + 2B \end{align} $

Tentukan nilai A dan B dari kesamaan

$ x - 3 = (A+B)x - 4A + 2B $,

$ A + B = 1 \, $ ....pers(i)

$ - 4A + 2B = -3 \, $ ....pers(ii)

Gunakan Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :

$ \begin{array}{c|c|cc} A + B = 1 & \times 2 & 2A + 2B = 2 & \\ - 4A + 2B = -3 & \times 1 & - 4A + 2B = -3 & - \\ \hline & & 6A = 5 & \\ & & A = \frac{5}{6} & \end{array} $

Pers(i) : $ A + B = 1 \rightarrow \frac{5}{6} + B = 1 \rightarrow B = \frac{1}{6} $

Bentuk fungsi pecah

$ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{\frac{5}{6} }{x+2} + \frac{\frac{1}{6} }{x-4} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align} $

Makara $ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align} $

Jika anda sudah paham bagaimana pemecahan fungsi di atas, maka kita akan lanjutkan dengan,

Integral Fungsi Pecah

Rumus dasar integral dan sifat logartima natural (ln) yang harus anda kembali ingat,

$ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $

$ \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} . \ln (ax+b)+ c $

Juga anda ingat kembali sifat logarima yang diterapkan pada logaritma natural (ln).

$ \ln a + \ln b = \ln (a.b) $

$ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} $

Kita akan gabungkan pengunaannya dengan fungsi pecah pada bab awal tadi. Berikut pola soal dan penyelesaian integral fungsi pecah.

Soal 1: $ \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx =...$

Langkah 1: Pecah fungsi ibarat cara di atas. Dan diperoleh

$ \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx $

Langkah 2 Lanjutkan dengan mengintegralkan,

$ \begin{align} \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx & = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx \\ & = \frac{1}{6} \left( \int \frac{5}{x+2} dx + \int \frac{1 }{x-4} dx \right) \\ & = \frac{1}{6} \left( 5 \ln (x+2) + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln (x+2)^5 + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align} $

Jadi, $ \begin{align} \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align} $

Soal 2: Hasil dari integral $ \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx $

Pembahasan;

Faktorkan penyebut

$ x^3 - x^2 + 4x - 4 = (x^3 + 4x) - (x^2 + 4) = x(x^2 + 4) - (x^2 + 4) = (x-1)(x^2+4) $

Pecah jadi dua bagian:

$ \begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ & = \frac{A(x^2+4) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)} \\ & = \frac{Ax^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C }{(x-1)(x^2+4)} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} & = \frac{(A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C }{(x-1)(x^2+4)} \\ x^2 + x + 3 & = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C \end{align} $

Nilai dari A, B dan C dengan memakai kesamaan:

$ x^2 + x + 3 = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C $,

$ A + B = 1 \rightarrow B = 1 - A \, $ ....pers(i)

$ C - B = 1 \, $ ....pers(ii)

$ 4A - C = 3 \rightarrow C = 4A - 3 \, $ ....pers(iii)

Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii)

$ \begin{align} C - B & = 1 \\ (4A - 3 ) - (1 - A) & = 1 \\ 5A - 4 & = 1 \\ A & = 1 \end{align} $

Persamaan(i) : $ B = 1 - A = 1 - 1 = 0 $

Persamaan(iii) : $ C = 4A - 3 = 4.1 - 3 = 1 $

Makara bentuk fungsi pecah,

$ \begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{0x+1}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} \end{align} $

Bagian $ \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \, $, kita memakai teknik substitusi trigonometri dan akan didapat hasil

$ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $

Integral bab lain :

$ \begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx & = \int \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $

Makara $ \begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $