Cara Memilih Jarak Terdekat Titik Ke Grafik Dengan Turunan

Berikut ialah salah satu bentuk penggunaan turunan dalam menghitung jarak terdekat suatu titik ke kurva atau grafik. Misalkan ada grafik f(x) dan titik M  (a,b). Maka akan dihitung jarak terdekat titik M ke grafik fungsi f(x).

Dasar penyelesainnya ialah dimana diasumsikan sebuah titik pada f(x), anggap itu titik N (x,y). Berdasarkan rumus jarak antara dua titik pada koordinat, MN dapat dihitung:
$ MN= \sqrt {(x-a)^2 + (y-b)^2}$.

Berdasarkan konsep nilai maksimum dan nilai minimum, maka jarak terdekat atau minimum itu terjadi dikala $ \frac {d(MN}{dx}=0$ atau turunan pertama fungsi dalam MN=0. Mempermudah pemahaman anda perhatikan pola soal di bawah ini,

Soal: Jarak terdekat titik (6,0) ke kurva y=2$\sqrt x$ adalah...

Pembahasan:
Berdasarkan rumusan di atas kita ketahui,
(a,b)= (6,0)
Asumsikan ada satu titik pada kurva /grafik y=2$\sqrt x$ yakni (x,y).

$ MN= \sqrt {(x-a)^2 + (y-b)^2} \\ MN= \sqrt {(x-6)^2 + (y-0)^2}$
Subtitusikan y=2$\sqrt x$
$MN= \sqrt {(x-6)^2 + (2\sqrt x-0)^2} \\  MN = \sqrt { x^2-12x+36 +4x} \\ MN = ( x^2-12x+36 +4x)^  {\frac {1}{2}}$
Sesuai syarat maksimum dan minimum dimana terjadi dikala turunan pertama =0 maka,
$ \frac {d(MN}{dx}=0 \\  \frac {2x-12+4}{ \sqrt { x^2-12x+36 +4x} } =0 \\ 2x-8 =0 \\ x=4$
Kaprikornus jarak terdekat itu terjadi dikala x=4. Silakan disubtitusi ke persamaan:
$MN= \sqrt {(x-6)^2 + (2\sqrt x-0)^2}\\ MN =\sqrt {(4-6)^2 + (2\sqrt 4-0)^2} = 2 \sqrt 5$

Berbagi :