Cara Cepat Menghitung Luas Kawasan Antara 2 Kurva

Sebelumnya telah dipakai rumus cepat menghitung tempat antara dua kurva I. Anda dapat baca di Cara Menghitung Luas Daerah dengan Integral. Melanjutkan rumus yang lebih ampuh, dan savage anda dapat juga gunakan rumus kedua ini.

Syarat dan ketentuannya tetap sama, dimana tempat harus dibatasi dua kurva dan fungsi dari kurva tersebut maksimal berpangkat 2. Kurang lebih gambarannya ibarat berikut,

Adapun rumus yang dipakai adalah:

$ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $

$x_1$ dan $x_2$ ialah perpotongan antara 2 kurva.
Langkah pengunaan rumus ini.

1. Samakan kedua fungsi dan bentuk jadi f(x)-g(x)=0
2. Faktorkan sehingga ditemukan $x_1$ dan $x_2$
3. Gunakan rumus di atas.

Sebelum melihat penggunaan rumus ini dalam bentuk pola soal, silakan perhatikan pembuktian di bawah ini,

Pembuktian Rumus

Akan dibuktikan Luas tempat antara dua kurva memenuhi $ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $.

Pada persamaan kuadrat berlaku,

$ x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a } $

Diubah bentuknya menjadi

$ \sqrt{D} = a(x_2 - x_1 ) \, $ dan $ D = a^2(x_2 - x_1)^2 $

Berdasarkan rumus cepat pertama, 

$\$text{Luas }  = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

Maka,

$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ & = \frac{a^2(x_2 - x_1)^2 . a(x_2 - x_1 ) }{6a^2} \\ & = \frac{a(x_2 - x_1)^3}{6} \\ & = \frac{a}{6} (x_2 - x_1)^3 \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{a}{6} |x_1-x_2|^3 \end{align} $

Contoh Soal dan Pembahasan

 Soal 1. Hitung luas tempat yang di batasi oleh fungsi persamaan $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?

Pembahasan:

Cari titik potong kurva persamaan:

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ 2x(x-4)=0 \\ x_1=0 \ , \ x_2=4  \end{align} $

Gunakan Rumus luas:

$\text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 \\ \text{Luas } = \frac{2}{6}|0-4|^3 \\ \\ \text{Luas } =\frac {64}{3}  \\ \text{Luas }= 21\frac{1}{3}$
Silakan dibandingkan dengan cara pertama

$\$text{Luas }  = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$
Sama bukan?

Soal 2. Tentukan luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 + 3x + 5 \, $ dan $ y = -4x - 1 $ ?

Pembahasan:

Bentuk persamaan dan menghitung nilai diskriminan:

$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x - 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, x_1 = 1, \, x_2 & = 6  \end{align} $

Gunakan rumus luas:

$ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 \\ \text{Luas } = \frac{1}{6}|1-6|^3 \\ \text{Luas } =\frac {125}{6} \\  \text{Luas }= 21\frac{1}{3} =  20\frac{5}{6}   $

Berbagi :