Pembagian Suku Banyak Dan Misal Soalnya

Dalam bahasan kali ini, kita akan mengulas mengenai pertolongan suku banyak. Dalam hal ini, pertolongan suku banyak yang akan dibahas kita batasi dari segi pembaginya yaitu, pertolongan suku banyak dengan (x – k), (ax + b), dan (ax²  + bx + c)

Pembagian dengan (x – k)

Jika pembagi suatu suku banyak/polinomial adalah (x – k), maka persamaan pertolongan dapat dituliskan sebagai berikut

f(x) = P(x) H(x) + S
atau
f(x) = (x – k) H(x) + S

Dimana f(x) ialah suku banyak, (x – k) adalah pembaginya, H(x) adalah hasil baginya, dan S ialah sisa pertolongannya. Oleh karena pembagi P(x) = x – k berderajat satu, maka sisa S maksimum berderajat nol atau berupa suatu konstanta yang tidak memuat variabel. Dari bentuk di atas kita akan mendapatkan Teorema Sisa 1 berikut

Teorema Sisa 1
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pertolongannya adalah S = f(k)

Bukti:
f(x) = (x – k) H(x) + S
f(k) = (k – k) H(x) + S
f(k) = 0 H(x) + S
f(k) = S
Jadi, terbukti S = f(k)

melalui atau bersama ini kata lain kita akan mendapatkan sisa dari suatu pertolongan f(x) dengan pembagi (x – k) dengan mensubstitusi k ke suku banyak f(x)

Untuk menentukan hasil bagi dan sekaligus sisa pertolongan dari suatu suku banyak kita dapat menggunakan dua cara yaitu cara pertolongan biasa (cara bersusun) dan cara bagan atau horner/skema. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

misal 1
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:
x³ + 7x²  + 4 dibagi (x – 2)
Penyelesaian:
Teknik Biasa












Jadi, hasil baginya H(x) = x²  + 9x + 18 dan sisa S = 40
Teknik Skema/Horner

Jadi, hasil baginya H(x) = x²  + 9x + 18 dan sisa S = 40

melalui atau bersama ini menggunakan Teorema Sisa 1, kita juga dapat menentukan sisa pertolongannya yaitu:

S = f(x)

S = f(2)

   = (2)³  + 7(2)²  + 4

   = 8 + 28 + 4

   = 40

Pembagian dengan (ax + b)

Pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b), dapat ditetapkan sebagai berikut

Nilai S (sisa) dapat ditetapkan dengan Teorema Sisa 2 berikut

Teorema Sisa 2

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pertolongannya adalah S = f ( -b/a )

Teknik pembuktiannya hampir sama dengan Teorema Sisa 1. 

Untuk lebih memahami pertolongan suku banyak dengan (ax + b), perhatikan contoh berikut

misal 2

Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika 6x³  - 2x²  – x + 7 dibagi (3x + 2)

Penyelesaian:

Untuk menyelesaiakan soal di atas akan digunakan dengan cara horner, untuk cara biasa silahkan anda coba sendiri

Dari  cara horner di atas diperoleh H(x) = 6x²  – 6x + 3, sehingga hasil baginya

dan sisa pertolongannya adalah 5

Pembagian dengan (ax²  + bx + c)

Pembagian suku banyak dengan ax²  + bx + c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan cara biasa apabila ax²  + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax²  + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Dari pertolongan dengan ax²  + bx + c ini diperoleh Teorema Sisa 3 yaitu

Teorema Sisa 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah S = px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q

Dalam hal ini, akan dibahas mengenai pertolongan dengan cara biasa saja, karena lebih mudah digunakan dan berikut adalah contohnya

misal 3

Tentukanlah hasi bagi dan sisanya, jika 4x³  + x²  + 2x – 5 dibagi (x²  + 2x – 3)

Penyelesaian

Jadi, hasil baginya 4x - 7 dan sisanya adalah 28x - 26

Berikut ini adalah contoh soal lainnya yang berkaitan dengan pertolongan suku banyak, yang mungkin akan menambah pemahaman anda mengenai pertolongan suku banyak

misal 4

Tentukan nilai a sehingga 2x³  + x²  – 13x + a habis dibagi (x – 2), kemudian tentukan hasil baginya

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal di atas kita dapat menggunakan Teorema Sisa 1. Karena 2x³  + x²  – 13x + a habis dibagi (x – 2) maka sisanya 0. Kita substitusikan x = 2 pada suku banyak

f(x) = S

f(2) = 0

2(2)³  + 2²  – 13(2) + a = 0

16 + 4 - 26 + a = 0

-6 + a = 0

a = 6

Sehingga, suku banyak menjadi 2x³  + x²  – 13x + 6. Untuk menentukan hasil baginya kita dapat menggunakan cara Horner

Jadi, nilai a adalah 6 dan hasil baginya adalah 2x²  + 5x – 3

misal 5

Tentukanlah nilai a dan b, jika x³  + ax + b habis dibagi (x²  + x + 1)

Penyelesaian

Karena x³  + ax + b habis dibagi (x²  + x + 1) maka sisanya adalah 0. melalui atau bersama ini menggunakan pertolongan cara biasa diperoleh

Dari, bentuk di atas diperoleh

ax + x = -x

(a + 1)x = -x

a + 1 = -1

a = -2

dan

b = -1

Jadi, nilai a = -2 dan b = -1

Sekian dan semoga bermanfaat

Berbagi :