Rumus Dan Teladan Soal Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Saya tak akan menjelaskan lebih lagi perihal apa itu pengertian integral. Anda dapat baca pada halaman terkait: Pengertian dan Dasar Integral. Khusus pada halaman ini aku akan jelaskan perihal integral trigonometri.

Adapun rumus rumus integral trigonometri sebagai berikut,

1. Rumus Dasar Integral Trigonometri

1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime (x) = \cos x $

artinya $ \int \cos x dx = \sin x + c $

2). $ f(x) = \cos x \rightarrow f^\prime (x) = -\sin x $

artinya $ \int - \sin x dx = \cos x + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos x + c $

3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime (x) = \sec ^2 x $

artinya $ \int \sec ^2 x dx = \tan x + c $

4). $ f(x) = \cot x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc ^2 x $

artinya $ \int - \csc ^2 x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^2 x dx = -\cot x + c $

5). $ f(x) = \sec x \rightarrow f^\prime (x) = \sec x \tan x $

artinya $ \int \sec x \tan x dx = \sec x + c $

6). $ f(x) = \csc x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc x \cot x $

artinya $ \int -\csc x \cot x dx = \csc x + c \, $

atau $ \, \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c $

Contoh Soal Integral Trigonometri Dasar:

Catatan: Anda harus ingat rumus identitas trigonometri:

$ \sec x = \frac{1}{\cos x }, \, \csc x = \frac{1}{\sin x}, \, \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $

Soal 1. $ \int \sin x - \cos x dx $

$ \int \sin x - \cos x dx = -\cos x - \sin x + c $

Soal 2. $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx $

$ \begin{align} \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx & = \int \frac{\sin x + \csc x}{ \frac{\sin x}{\cos x} } dx \\ & = \int (\sin x + \csc x) \times \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ & = \int ( \sin x . \times \frac{\cos x}{\sin x} + \csc x \times \frac{\cos x}{\sin x} ) dx \\ & = \int ( \cos x + \csc x \cot x ) dx \\ & = \sin x - \csc x + c \end{align} $

2. Rumus Integral Trigonometri bentuk ax+b

Pada dasarnya ini sama saja. Tetapi perlu anda perhatikan efek konstanta a sebagaimana rumus rumus berikut,

1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $

artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $

atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax+b) + c $

2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $

artinya $ \int - a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $

3). $ f(x) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a \sec ^2 (ax + b) $

artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $

atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + c $

4). $ f(x) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc ^2 (ax + b) $

artinya $ \int - a\csc ^2 (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \csc ^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $

5). $ f(x) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $

artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $

atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + c $

6). $ f(x) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $

artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $

atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = - \frac{1}{a} \csc (ax + b) + c $

Contoh Soal yang berkaitan dengan integral trigonometri bentuk ax+b ini sebagai berikut,

Soal 1. $ \int \sin (2x + 3) dx $

$ \int \sin (2x + 3) dx = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + c $

Soal 2. $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx $

$ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx = -\frac{1}{-2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $

$ = \frac{1}{2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $

Dari soal di atas terlihat hanya operasi penjumlahan. kemudian bagaimana kalau soal ditemukan dalam bentuk operasi perkalian.

Integral Trigonometri dalam Bentuk Perkalian

Pada suatu kondisi anda harus ingat perihal beberapa rumus perkalian dan sudut rangkap pada trigonometri. Rumus trigonometri yang aku maksud,

$ 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

$ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)] $

$ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $

$ -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) - \cos (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos (A+B) - \cos (A-B)] $

Sudut Rangkap/Ganda

$ \cos ^2 A f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2A f(x) ] $

$ \sin ^2 A f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2A f(x) ] $

Contoh penggunaan rumus di atas dikala anda menemukan soal soal menyerupai berikut,

Soal 1. $ \int \sin 5x \cos 2x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus : $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

$ \begin{align} \int \sin 5x \cos 2x dx & = \int \frac{1}{2} [ \sin (5x+2x) + \sin (5x-2x)] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} \int [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} [ -\frac{1}{7}\cos (7x) - \frac{1}{3} \cos (3x)] + c \\ & = -\frac{1}{14}\cos (7x) - \frac{1}{6} \cos (3x) + c \end{align} $

Soal 2. $ \int \cos ^2 3x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus : $ \, \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $

$ \int \cos ^2 3x dx $

$ \begin{align} \int \cos ^2 3x dx & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 3x ] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 6x ] dx \\ & = \frac{1}{2} [ x + \frac{1}{6} \sin 6x ] + c \\ & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin 6x + c \end{align} $

Soal 3. $ \int \sin ^4 5x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus: $ \, \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2p f(x) ] $

$ \begin{align} \int \sin ^4 5x dx & = \int \sin ^2 5x \sin ^2 5x dx \\ & = \int (\sin ^2 5x)^2 dx \\ & = \int (\frac{1}{2} [ 1 - \cos 2 . 5x ])^2 dx \\ & = \int \frac{1}{4} [ 1 - \cos 10x ]^2 dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \cos ^2 10 x ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 10x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 20x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 20x ] dx \\ & = \frac{1}{4} [ x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} . \frac{1}{20} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{1}{4} [ \frac{3}{2}x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{40} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{2}{40} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{1}{20} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \end{align} $