Rumus Cepat I Menghitung Luas Tempat Kurva Dengan Integral

Pada postingan sebelumnya telah dijelaskan bagaimana cara menghitung luas tempat yang dibatasi oleh kurva dengan memakai perhitungan integral. Pahamkan diri anda untuk hal tersebut sebelum memakai rumus cepat ini. Anda sanggup baca pada halaman Cara Menghitung Luas Daerah dengan Integral.

Penggunaan rumus cepat ini tidak berlaku umum. Ada syarat dan ketentuan yang berlaku sehingga kondisi tersebut sanggup dipakai rumus ini.

Luas Daerah di Bawah Kurva dengan Diskriminan

Jika anda mempunyai fungsi kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ maka Diskriminan (D) bisa dinyatakan dengan $ D = b^2 - 4ac $.

Rumus Luas tempat dibatasi kurva dengan diskriminan ini sebagai berikut,

$ \,Luas = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $

Syarat dan ketentuan penggunaan rumus ini apabila tempat tersebut hanya di batasi oleh dua fungsi. Fungsi-nya pun harus maksimal berpangkat 2. Langkah penggunaannya, Misalkan f(x) dan g(x) yaitu fungsi yang membatasi daerah:

Bentuk fungsi f(x)=g(x) jadikan f(x)-g(x)=0
Anda akan mendapat persamaan kuadrat identifikasi a,b,c dan hitung diskriminan
Silakan gunakan rumus di atas.

Contoh Gambar fungsi yang memenuhi untuk dipakai rumus ini,

Pembuktian Rumus

1. Misalkan fungsi persamaan $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan $ y = a_2x^2 + b_2x + c_2 $

Akan dicari titik potong dengan cara

$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = a_2x^2 + b_2x + c_2 \\ (a_1-a_2)x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $

Asumsikan $ a = a_1 - a_2, b = b_1 - b_2, c= c_1 - c_2 $.

Didapat persamaan $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang mana yaitu titik potong kedua kurva persamaan. Untuk salah satu persamaan garis, artinya $a_2=0$

2. Sesuai sifat Operasi akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ jika akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $

$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \, x_1 . x_2 = \frac{c}{a} , \, x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a} $

$ x_2^2 - x_1^2 = (x_2-x_1)(x_2+x_1) = \frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a} $

$ x_2^3 - x_1^3 = (x_2-x_1)^3 + 3x_1x_2(x_2-x_1) = (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} $

3. Dengan Cara Menghitung Luas tempat dengan Integral biasa dilakukan pembagian terstruktur mengenai sebagai berikut,

$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{x_1}^{x_2} y_1 - y_2 dx \\ & = \int \limits_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) dx \\ & = [\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx]_{x_1}^{x_2} \\ & = [\frac{a}{3}x_2^3 + \frac{b}{2}x_2^2 + cx_2] - [\frac{a}{3}x_1^3 + \frac{b}{2}x_1^2 + cx_1] \\ & = \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3) + \frac{b}{2}(x_2^2 - x_1^2) + c(x_2 - x_1) \\ & = \frac{a}{3}[ (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{a}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a^2} + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{1}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a} + 3c \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D}{a} + 3c ] + \frac{b}{2}[ \frac{(-b)}{a}] + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{b^2}{2a} + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2}{6}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D+6ac}{6a} - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3b^2 + 12ac}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(b^2 - 4ac)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(D)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{-D}{6a} \right) \\ & = \frac{-D\sqrt{D}}{6a^2} \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \end{align} $

Terbukti bahu-membahu $ \, Luas = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $

Contoh Soal dan Pembahasan Luas dengan Rumus Diskriminan

Berikut referensi Soal dan pembahasan cara cepat menghitung luas tempat dengan integral

Soal 1. Hitung luas tempat yang di batasi oleh fungsi persamaan $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?

Pembahasan:

Bentuk persamaan dan menghitung nilai diskriminan:

$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ a = 2, \, b = -8, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (-8)^2 - 4 . 2 . 0 \\ & = 64 \end{align} $

Gunakan Rumus luas:

$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{64 \sqrt{64}}{6. 2^2} = \frac{64 . 8}{24 } = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \end{align} $

Soal 2. Tentukan luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 + 3x + 5 \, $ dan $ y = -4x - 1 $ ?

Pembahasan:

Bentuk persamaan dan menghitung nilai diskriminan:

$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x - 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, b = 7, \, c & = 6 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (7)^2 - 4 . 1 . 6 \\ & = 25 \end{align} $

Gunakan rumus luas:

$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{25 \sqrt{25}}{6. 1^2} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} \end{align} $

Untuk Cara Kedua yang lebih cepat silakan baca : Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Antara 2 Kurva