Contoh Soal Dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Elips (1)

Syarat sebuah garis dikatakan menyinggung elips ialah apabila ada garis y = mx+c (atau persamaan garis ax+by+c=0, diubah dulu ke bentuk y = mx+c) di substitusikan ke dalam persamaan elips ( variabel y pada elips di ganti dengan y= mx+c) maka diperoleh sebuah persamaan kuadrat ; dan persamaan kuadrat tersebut nilai diskriminanya nol (D=0).

Ilustrasi Garis Singgung Elips

Itulah syarat jikalau sebuah garis menyinggung elips. Kali ini yang akan kita bahas ialah mencari persamaan garis singgung elips jikalau diketahui satu titik. Adapun Langkah mencari persamaan garis singgung elips pada sebuah titik adalah:
1) Uji terlebih dahulu, apakah titik benar dilewati elips atau tidak. Caranya dengan men-subtitusikan nilai x dan y titik pada elips.
2)  Gunakan rumus persamaan garis singgung elips pada sebuah titik. Rumus garis singgung elips pada sebuah titik :
Jika ada elips dengan sentra (a,b) dengan persamaan : $ \frac{(x-a)^{2}}{p}+\frac{(y-b)^{2}}{q}=1 $. Maka persamaan garis singgung dititik (x₁, y₁) ialah :

$\frac{(x_{1}-a)(x-a)}{p}+\frac{(y_{1}-b)(y-b)}{q}=1$.

Bila elips berpusat di (0,0) maka tinggal ganti a dan b dengan 0. Sehingga diperoleh:

$\frac{(x_{1})(x)}{p}+\frac{(y_{1})(y)}{q}=1$.

Jika sudah mengetahui rumus tersebut, pribadi kita coba melihat tumpuan soal dan pembahasan garis singgung elips yang melalui satu titik.

Soal 1.
Diketahui elips $\frac{x^{2}}{25}+\frac{ y^{2}}{16}=1$. Tentukan persamaan elips yang melalui titik $(\frac{5}{2}\sqrt{3}, 2)$ ?

Pembahasan :
1) Sebelum memakai rumus tersebut, uji terlebih dahulu apa benar titik tersebut
$\frac{x^{2}}{25}+\frac{ y^{2}}{16}=1$, titik $(\frac{5}{2}\sqrt{3}, 2)$.
Substitusikan titik ke elips :
$\frac{(\frac{5}{2}\sqrt{3})^{2}}{25}+\frac{ 2^{2}}{16}=1$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} =1$
1=1 (terbukti).

2) Kita lanjutkan dengan memakai rumus ibarat langkah yang telah dijelaskan di atas.
$\frac{(x_{1})(x)}{p}+\frac{(y_{1})(y)}{q}=1$.
$\frac{(\frac{5}{2}\sqrt{3})(x)}{25}+\frac{2(y)}{16}=1$.
$\frac{(\sqrt{3}(x)}{10}+\frac{y)}{8}=1 | x 40$.
$ 4\sqrt{3}x +5y = 40$

Soal 2 :
Persamaan garis singgung elips : $ x^{2}+2y^{2}-16 = 0 $ di titik $(2 \sqrt{2}, 2)$ adalah...

Pembahasan :
1) $(2 \sqrt{2})^{2} + 2(2^{2}) – 16 =0$
$4(2) + 2(4) – 16 =0$
$16-16 =0$
$0=0$. Terbukti.

2) Walaupun ini belum berbentuk persamaan elips yang ibarat bentuk baku, kita dapat menyelesaikannya pribadi dengan prinsip ‘ pecah kuadrat’.Maksudnya begini :

Untuk $x^{2} = x.x$. Salah satu x diganti dengan nilai x pada titik. Demikian juga dengan y.

$ x^{2}+2y^{2}-16 = 0 $
$ x.x_{1}+2y. y_{1}-16 = 0 $ . Kuadrat dipecah jadi perkalian dan salah satu diubah dengan nilai titik.
$ x.( 2 \sqrt{2})+2y. 2-16 = 0 $
$ 2 \sqrt{2} x+4y-16 = 0 $
$ \sqrt{2} x+2y-8 = 0 $

Soal Latihan :
1) Persamaan garis singgung elips : $ \frac{(x-2)^{2}}{20}+\frac{(y+3)^{2}}{5}=1 $. Dititik (6,-2) ialah ...  (Jawaban: x+y =4 ,silahkan dicoba sendiri jalan menemukannya).

2) Persamaan garis singgung elips $2x^{2}+y^{2}+20x+6y-53=0$ di titik (-4,1) adalah...
Jawaban : x-y+5 =0. Selanjutnya : Soal dan Pembahasan Garis Singgung Elips diketahui Gradien m

Berbagi :