Cara Menuntaskan Pertidaksamaan Trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri ialah pertaksamaan yang mempunyai trigonometri berupa sinus, cosinus dan tangen serta kebalikannya. Sebagaimana kita ketahui bahu-membahu pertidaksamaan akan memuat tanda penghubung berupa $ >, \, \geq , \, \leq, \, $ dan $ < \, $.

Untuk mencari solusi atau menuntaskan pertidak samaan trigonometri ini pastikan anda telah benar-benar paham tentang persamaan trigonometri. Adapun langkah penyelesaian pertidaksamaan trigonometri sebagai berikut,

1. Asumsikan fungsi tersebut dalam bentuk persamaan. Anda temukan pembuat nol atau solusi persamaan tersebut.
2. Gambarkan garis bilangan dan lakukan pengujian daerah.
3. Defenisikan kawasan himpunan penyelesaian.

Untuk memudahkan, bagaimana langkah dan cara menuntaskan pertaksamaan trigonometri di atas, maka ikutilah pola soal dan pembahasan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri di bawah ini.

#Soal 1. Daerah himpunan penyelesaian dari $ 2\sin x \leq 1 \, $ untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ 

Pembahasan:

Langkah 1. Kita akan cari pembuat nol dari fungsi tersebut. Bisa ditulis sebagai berikut,

 $2\sin x  \leq 1 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sin x  \leq \frac{1}{2} \\ \sin x  = \frac{1}{2} \\ x  = \{ -210^\circ , \, 30^\circ , \, 150^\circ \} $

Langkah 2. Kita akan bentuk garis bilangan dan menguji beberapa titik,

Perhatikan tanda negatif dan nyata dari masing masing interval. Ini saya dapatkan dari,
$2\sin x  \leq 1 \\ Daerah \, I \rightarrow x=15^o \\ 2 \sin 15^0 \leq 1  \\ 0,5 \leq 1 (benar) \\ Daerah II \,  \rightarrow x= 90^0 \\ 2\sin 90^0 \leq 1 \\ 2 \leq 1 (salah) \\ daerah\, III \rightarrow  270^0 \\ 2\sin 270^0 \leq 1 \\ -2 \leq 1 (benar)$
Saya ambil masing masing 15 derajat untuk kawasan I, 90 derajat untuk kawasan 2 dan 270 derajat pada kawasan III. Kemudian saya uji pada persamaan. Unntuk kawasan yang benar atau memenuhi persamaan saya arsir.

Langkah 3.
Makara kawasan penyelesaian yang benar adalah: $HP = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \cup 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $

#Soal 2. Tentukanlah kawasan penyelesain untuk  $ 2\cos ^2 x < 3\sin x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $

Pembahasan:
Langkah 1. Menentukan pembuat nol, tetapi pertama kita ubah dulu fungsi menjadi satu jenis trigonometri.
$ 2\cos ^2 x <3\sin x + 3 \ \\ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x \\ 2\cos ^2 x  < 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x )  < 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x  < 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1  > 0 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1  = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1)  = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1)  = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x  = -1 $
Titik Penyelesaian persamaan:
$\sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = -30^\circ = -\frac{\pi}{6} \\  x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \\  x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} \\ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $

Langkah 2. Membuat Garis Bilangan dan Uji daerah
Saya akan buat kawasan di atas dalam garis bilangan

Disana terdapat 4 daerah. Saya ambil titik uji pada kawasan I $\frac {1}{6} \pi$ , pada kawasan II $\frac {8}{6} \pi$ dan kawasan III $ \frac {10}{6} \pi $ dan kawasan IV $ \frac {23}{24} \pi$. Diujikan pada persamaan, dan didapat kawasan yang benar ialah kawasan I dan III.

Langkah 3. Daerah Penyelesaian.
$HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \}$

Biasanya pada pengujian, anda cukup menguji 2 kawasan yang berdekatan. Biasanya kawasan penyelesaian tersebut selang seling. Maksudnya bila kawasan Penyelesaian yang benar I maka pasangannya kawasan III, V. Atau bila yang benar kawasan II maka pasangannya IV dan VI.

Berbagi :