Cara Menghitung Luas Tempat Dengan Integral

Salah satu bentuk aplikasi atau penggunaan integral ialah menghitung luas tempat yang dibatasi oleh sebuah kurva. Untuk memakai atau menghitung luas integral di bawah kurva ini tentunya anda harus sanggup menggambarkan grafik dari fungsi yang ada. Bentuk fungsi tersebut tentunya sanggup aneka macam macam nantinya.

Adapun dalam menghitung luas tempat area di bawah kurva sanggup dipandang menjadi 2 macam. Kita sanggup menghitung dengan patokan batas sumbu x, juga sanggup dengan mengambil batas sumbu y. Pastikan anda telah memahami bagaimana cara menuntaskan atau menghitung integral tentu. Jika belum silakan baca Integral Tertentu dan Contoh Soal

Luas Daerah Kurva dengan Integral (Sumbu x)

Perhatikan dua gambar fungsi f(x) dan g(x) di bawah ini,

Untuk tempat R berada di atas sumbu x dengan fungsi f(x). Area tersebut dibatasi oleh interval [a,b]. Untuk menghitungnya sanggup digunakan:

Luas R $ \, = \int \limits_a^b f(x) dx $

Untuk tempat S berada di bawa sumbu x dengan fungsi g(x). Area tersebut dibatasi pada interval [c,d]. Untuk menghitungnya sanggup digunakan:

Luas S $ \, = - \int \limits_c^d g(x) dx $

Contoh Soal Luas Daerah dengan Integral

Soal 1. Hitung Luas area yang dibatasi kurva $ y = 4x - x^2, x = 1, x = 3$

Pembahasan:

Pertama, silakan digambar grafik tersebut. Jika digambarkan terlihat ibarat berikut.

Terlihat sebenarnya interval berada pada selang [1,3] sehingga sanggup dihitung luas wilayahnya dengan integral sebagai berikut,

$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^3 f(x) dx \\ & = \int \limits_1^3 (4x - x^2) dx \\ & = [2x^2 - \frac{1}{3}x^3]_1^3 \\ & = [2.3^2 - \frac{1}{3}.3^3] - [2.1^2 - \frac{1}{3}.1^3] \\ & = [18 - 9] - [2 - \frac{1}{3} ] \\ & = 7\frac{1}{3} \end{align} $

Soal 2. Tentukan Luas tempat dari gambar di bawah ini,

Pembahasan:

Untuk area berwarna merah berada di atas sumbu x sementara tempat biru di bawah sumbu x. Maka Luasnya

$L_1 = \int \limits_0^1 ( x^2 - 5x + 4) dx \\ L_2 =- \int \limits_1^4 ( x^2 - 5x + 4) dx$

Sehingga luas total ( $L_1 + L_2$)jika anda hitung dengan benar akan diperoleh, $ 6\frac{1}{3}$

Soal 3. Hitunglah luas tempat kurva $ f(x) = - sin x , \, 0 \leq x \leq 2\pi $ dengan sumbu x.

Pembahasan:

Dengan langkah awal yang sama, yakni silakan dibentuk gambar grafik terlebih dahulu. Anda akan sanggup gambar grafik ibarat berikut,

Prinsipnya di sini sebab tempat ada yang berada di bawah sumbu x (hijau) dan ada yang berada di atas sumbu x (kuning), maka anda harus cari masing masingnya.

$A_{kuning} = \int \limits_\pi^{2\pi} ( -\sin x) dx =2 \\ A_{hijau} =- \int \limits_0^\pi (-\sin x) dx =2 \\ A_{kuning}+A_{hijau} = 2+2 =4$

Bentuk di atas tempat yang terdiri dari 1 kurva dan sumbu x saja. Lalu bagaimana jikalau terdapat 2 kurva?

Luas tempat antara 2 kurva dengan Integral

Jika terdapat 2 kurva sebagai batas daerah, ibarat gambar berikut contohnya,

Maka luas tempat yang diarsir sanggup dihitung dengan rumusan,

$ \, L= \int \limits_a^b (f(x) - g(x)) dx $

Soal 4. Hitung luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?

Pembahasan:

Jika gambarkan akan diperoleh,

Batas tempat paling kiri dan paling kanan terlihat ialah perpotongan dua kurva. Untuk mencari titik potong dua kurva tersebut sanggup dihitung sebagai berikut,

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ 2x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $

Ini akan menjadi interval atau batas integral. Dimana sanggup dihitung sebagai berikut,

$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^4 [( x^2 - 2x ) - ( 6x-x^2) ] dx \\ & = \int \limits_0^4 ( 2x^2 - 8x ) dx \\ & = [ \frac{2}{3}x^3 - 4x^2 ]_0^4 \\ & = 21\frac{1}{3} \end{align} $

Lalu bagaimana jikalau kita mengambil patokan sumbu y? Misalkan anda mempunyai grafik sebagai berikut: