Cara Menghitung Luas Segi Empat Tali Busur

Pada dasarnya di sini kita akan mencari luas segiempat pada sebuah lingkatan dimana setiap titik sudut segiempat tersebut menyentuh perimeter lingkaran. Gambaran awalnya sanggup anda perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan anda akan mencari luas segiempat yang berwarna biru. Untuk mencari luas tersebut diharapkan pemahana ihwal Dalil Sinus, Dalil Cosinus dan Nilai Trigonometri sudut berelasi. Semua topik ini sanggup anda lihat di daftar isi blog ini pada topik trigonometri.

Rumus untuk mencari Luas segiempat tali busur ini adalah:

Misalkan terdapat segiempat ABCD dengan AB=a, BC=b, CD=c dan DA=d. Maka luas segiempat tersebut:

$L=  \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

dimana $  s = \frac{a+b+c+d}{2}$

Pembuktian Rumus Luas Segiempat Tali Busur pada Lingkaran

Berdasarkan gambar di atas. Anda harus ingat sesungguhnya jumlah sudut A+C dan B+D = 180 derajat. Sudut tersebut masing masing sanggup ditulis,

$ B+D = 180^ \circ \\  D = 180^ \circ - B \\ \sin D =  \sin (180^ \circ  - B) \\ \sin D= \sin B \\ \text {untuk cosinus} \\  \cos D =  \sin (180^ \circ  - B) \\ \cos D=-  \cos B$

Perhatikan segitiga BAC dan DAC. Dengan memakai aturan/dalil Cosinus sanggup ditulis.

 $ (i) \, AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B $
$ (ii) \, AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) $

$ \begin{align} AC^2 & = AC^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 + 2cd \cos B \\ \cos B & = \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \end{align} $

Sekedar mengingatkan:

Pemfaktoran Aljabar: $ X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y) $

Identitas trigonometri: $ \sin ^2 B + \cos ^2 B = 1 $

Jika dimisalkan: $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $

$ \begin{align} \sin ^2 B & = 1 - \cos ^2 B \\ \sin ^2 B & = (1 + \cos B )(1 - \cos B ) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 - \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab - (c^2 + d^2 - 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd - (a^2 + b^2 - 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 - (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 - (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 B & = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin B & = \sqrt{\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin B & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $

Perhatikan kembali segitiga BAC dan DAC:

$ L \triangle_{BAC } = \frac{1}{2}ab\sin B $

$L \triangle _{DAC } = \frac{1}{2}cd\sin D = \frac{1}{2}cd\sin B $

Luas segiempat ABCD:

$ \begin{align} \text{Luas ABCD } & = \text{Luas BAC } + \text{Luas DAC } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $

Terbukti Bukan?

Terakhir, akan dilihat pola soal dan pembahasan mencari luas segiempat tali busur ini.

Jika panjang AB= 4, BC = 1, CD = 3 dan AD = 2. Hitunglah luas bangkit yang diarsir di atas.

Pembahasan:

Diketahui $ a = 4, \, b = 1, \, c = 3, \, d = 2 $

Jawab:
$ s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{4+1+3+2}{2} = 5 $
$ \begin{align} L & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} \\ & = \sqrt{4.3.2.1} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Luas ABCD= $ 2 \sqrt{6} $ .

Berbagi :