Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Terdapat tiga posisi atau kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu, memotong lingkaran pada dua titik yang tidak sama, memotong lingkaran pada satu titik atau dikenal dengan menyinggung lingkaran, dan tidak memotong dan menyinggung lingkaran. Mengenai kedudukan garis terhadap lingkaran anda dapat membaca lebih lngkap melalui artikel Posisi Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

Sesuai dengan judul di atas, postingan kali ini akan mengulas mengenai menetukan persamaan garis singgung lingkaran yang pada umumnya diajarkan pada tingkat SMA, sedangkan pada tingkat SMP biasanya diajarkan engenai cara menentukan panjang garis singgung suatu lingkaran (Baca : Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran)

A. Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran

1. Untuk lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari r

Misalkan titik P(x₁ , y₁) ialah titik yang terletak pada lingkaran L : x² + y² = r² . Untuk menentukan persamaan garis singgung dalam hal ini kita sebut dengan garis g dapat dilakukan dengan rumus  
x1 x + y1 y = r²
Untuk lebih jelasnya mengenai penerapan rumus di atas perhatikan contoh soal berikut

misal 1
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x²  + y²  = 10 di titik (1, -3)
Penyelesaian
x1 x + y1 y = r²
(1)x + (-3)y = 10
x – 3y = 10
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x – 3y = 10

2. Untuk lingkaran dengan pusat A(a, b) dan berjari-jari r

Jika L ialah sebuah lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan persamaan L: (x – a)²  + (y – b)²  = r²  dan titik P (x1 , y1 ) ialah suatu titik yang terletak pada lingkaran L, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik P dapat ditentukan dengan rumus
(x – a)(x1  – a) + (y – b)(y1  – b) = r²
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

misal 2
Tentukan persamaan garis singgung (x + 2)²  + (y – 4)²  = 45 di titik (4, 1)
Penyelesaian
Dari persamaan lingkaran pada soal diperoleh pusat lingkaran (-2, 4), sehingga persamaan garis singgung lingkaranya menjadi
(x – a)(x1  – a) + (y – b)(y1  – b) = r²
(x – (-2))(4 – (-2)) + (y – 4)(1 – 4) = 45
(x + 4)(6) + (y – 4)(-3) = 45
6x + 24 - 3y + 12 = 45
6x – 3y + 36 = 45
6x – 3y = 9
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 6x – 3y = 9

3. Untuk lingkaran yang ditetapkan dalam bentuk umum x²  + y²  + Ax + By + C = 0

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan x²  + y²  + Ax + By + C = 0 di titik P(x1, y1) dapat dilakukan dengan menggunakan rumus
x1 x + y1 y + ½ A(x + x1 ) + ½ B(y + y1 ) + C = 0
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

misal 3
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x²  + y²  – 2x – 10y + 17 = 0 di titik (4, 5)
Penyelesaian
Dari persamaan x²  + y²  – 2x – 10y + 17 = 0 diperoleh nilai A = -2, B = -10 dan C = 17, shingga persamaan garis singgungnya dapat ditentukan dengan
x1 x + y1 y + ½ A(x + x1 ) + ½ B(y + y1 ) + C = 0
4x + 5y + ½ (-2)(x + 4) + ½ (-10)(y + 5) + 17 = 0
4x + 5y – x – 4 – 5y – 25 + 17 = 0
3x – 12 = 0
x – 4 = 0
x = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x = 4

B. Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Misalkan titik P(x1 , y1 ) terletak di luar lingkaran L. Garis singgung yang dapat ditarik melalui titik P ke lingkaran L ada dua. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung tersebut adalah

1. Buat persamaan garis yang melalui P(x1 , y1 ) dengan memisalkan gradiennya m yaitu y – y1  = m(x – x1 )
2. Substitusikan y (Persamaan garis yang didapat pada langkah pertama) ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Kemudian tentukan nilai diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut
3. Karena garis menyinggung lingkaran L, maka nilai D = 0. Dari D = 0 akan diperoleh nilai m. Kemudian substitusikan nilai m ke persamaan garis pada langkah pertama. Sehingga akan didapat persamaan garis yang dicari

Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut

misal 4
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (4, 2) di luar lingkaran x²   + y²   = 10
Penyelesaian
Misal gradien persamaan garis singgung m, maka
y – y1  = m(x – x1 )
y – 2 = m(x – 4)
y = mx – 4m + 2

Substitusi  y = mx – 4m + 2 ke persamaan lingkaran x²   + y²   = 10
x²  + (mx – 4m + 2)²  = 10
x²  + m² x²  - 4m² x + 2mx - 4m² x + 16m²  - 8m + 2mx – 8m + 4 =10
x²  + m² x²  – 8m² x + 4mx + 16m²  - 16m + 4 = 10
(1 + m² )x²  – (8m²  - 4m)x + (16m²  -16m + 4) = 0

Syarat D = 0
(-(8m²  - 4m))²  – 4(1 + m² )(16m²  – 16m + 4) = 0
64m⁴  - 64m³   + 16m²  – 4(16m²  – 16m + 4 + 16m⁴  – 16m³  + 4m² ) = 0
64m⁴  - 64m³  – 64m²  + 64m + 16 - 64m⁴  + 64m³  - 16m²  = 0
-80m²  + 64m + 16 = 0
-5m²  + 4m + 1 = 0
5m²  - 4m - 1 = 0
(5m + 1)(m - 1) = 0
m = -1/5 atau m = 1

Untuk m = -1/5 diperoleh
y = -1/5x – 4(-1/5) + 2
5y = -x + 4 + 10
x + 5y = 14
Untuk m = 1 diperoleh
y = 1x – 4(1) + 2
y = x – 2
x – y = 2
Jadi, persamaan garis singgunya adalah x + 5y = 14 dan x – y = 2

C. Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

1. Untuk lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari r

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran x²  + y²  = r²  dengan gradien m dapat dilakukan dengan rumus

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

misal 5
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x²  + y²  = 4 dengan gradien 2
Penyelesaian
Dari soal di atas diperoleh r = 2 dan m = 2

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 

2. Untuk lingkaran dengan pusat A(a, b) dan berjari-jari r

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – a)²  + (y – b)²  = r²  dengan gradien m dapat dilakukan dengan rumus

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

misal 6
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 2)²  + (y – 5)²  = 9 dengan gradien –1
Penyelesaian
Dari soal diperoleh pusat lingkaran (-2, 5), r = 3 dan m = -1

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

Untuk persamaan lingkaran dengan bentuk umum x²  + y²  + Ax + By + C = 0, persamaan garis singgung bergradien m dapat dicari dengan rumus yang sama yaitu

Namun, persamaan lingkaran bentuk x²  + y²  + Ax + By + C = 0 kita ubah terlebih dahulu menjadi bentuk (x – a)²  + (y – b)²  = r²  atau kita tentukan pusat dan jari-jarinya sehingga kita dapat menemukan persamaan garis singgungnya. Teknik menentukan pusat dan jari-jari suatu lingkaran anda dapat membacanya pada artikel Menentukan Persamaan Lingkaran.

Berikut adalah contoh menentukan persamaan garis singgung lingkaran x²  + y²  + Ax + By + C = 0 bergradien m
misal 7
x²  + y²  – 10x + 2y + 17 = 0 dengan gradien 2
Penyelesaian
Dari soal di atas diperoleh
pusat lingkaran (5, -1)

m = 2
Sehingga, persamaan garis singgungnya

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 

Untuk mempermudah dalam memecahkan soal mengenai persamaan garis singgung lingkaran, ada baiknya anda juga memahami sedikit mengenai gradien dan persamaan garis lurus yang anda dapat temukan dalam artikel Menentukan Gradien Persamaan Garis Lurus dan Menentukan Persamaan Garis Lurus

Sumber gambar :
Wahyudin dan Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2. Jakarta: Depdiknas
Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Depdiknas

Berbagi :