Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Rumus Pembagian Ruas Garis Pada Vektor

Sebelum mengulas lebih lanjut mengenai pertolongan ruas gari pada vektor, pertama harus dipahami terlebih dahulu mengenai vektor posisi. Misalkan jika titik-titik A, B, C, dan D meupakan titik sembarang dan O ialah titik pangkal, maka $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$, dan $\vec{OD }$ memiliki vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, dan $\vec{d}$. Vektor-vektor tersebut disebut dengan vektor posisi dari titik-titik A, B, C, dan D.

Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian

Suatu titik C membagi ruas garis AB dala perbandingan m dan n sehingga AC : BC = m : n
1. Jika C di dalam AB, maka $\vec{AC}$, $\vec{CB}$ mempunyai arah yang sama dan m, n mempunyai tanda yang sama
AC : CB = m : n
AC : AB = m : (m + n)

2. Jika C di luar AB, maka $\vec{AC}$, $\vec{CB}$ mempunyai arah berlawanan dan m, n mempunyai tanda yang berlawanan
AC AC : CB = m : -n
AC : AB = m : (m - n)

Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

Misalkan terdapat tiga buah titik yaitu A, B, dan C dengan vektor posisi $\vec{a}$, $\vec{b}$, dan $\vec{c}$. Apabila titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n, maka vektor $\vec{c}$ dapat ditentukan rumus:
$\vec{c}$ $= \frac{m\vec{a} + n\vec{b}}{m + n}$

Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat

Bila titik C membagi ruas garis yang menghubungkan titik A $(x_1, y_1, z_1)$ dan B $(x_2, y_2, z_2)$ dengan perbandingan m : n, maka koordinat titik C dapat ditentukan dengan rumus:
$x$ $= \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
$y$ $= \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}$
$z$ $= \frac{m z_2 + n z_1}{m + n}$

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal beserta pembahasanya
misal 1
Ruas garis AB mempunyai koordinat titik A(3, -1) dan titik B(6, 5). Tentukan titik C, jika AC : CB = 2 : 1!
Penyelesaian
Koordinat titik C
$x$ $= \frac{2 (6) + 1 (3)}{2 + 1}$ $ = 5$
$y$ $= \frac{2 (5) + 1 (-1)}{2 + 1}$ $ = 3$
Jadi, koordinat titik C adalah (5, 3)

misal 2
Misalkan titik P(2, 3, -1) dan Q(7, -2, 9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Tentukan koordinat titik R!
Penyelesaian
Titik R mebagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4, maka PR : RQ = 1 : 4
Koordinat titik R
$x$ $= \frac{1 (7) + 4 (2)}{1 + 4}$ $ = 3$
$y$ $= \frac{1 (-2) + 4 (3)}{1 + 4}$ $ = 2$
$z$ $= \frac{1 (9) + 4 (-1)}{1 + 4}$ $ = 1$
Jadi, koordinat R adalah (3, 2, 1)

Posting Komentar untuk "Rumus Pembagian Ruas Garis Pada Vektor"