Mengenal Bentuk Akar
Dari sekolah dasar kita sudah mengenal bentuk akar atau dalam materi sekolah dasar penarikan akar. Umumnya di sekolah dasar kita diajarkan penarikan akar angkat dua dan akar pangkat tiga. Selanjutnya, menginjak SMP kita diajarkan akar pangkat lainnya yang lebih tinggi.
Lambang akar "$\sqrt{ }$" dipilih sebagai lambang untuk menyatakan akar karena bentuknya mirip dengan bentuk "r" yang berasal dari kata radix. Radix sendiri dalam bahasa latin berarti akar kuadrat. Misalkan n bilangan bulat, a dan b adalah bilangan real. Jika berlaku $b^{n} = a$ maka (b ialah akar pangkat n dari a.
misal bentuk akar dan bukan bentuk akar
$\sqrt{3}$ ialah bentuk akar karena jika ditarik akarnya akan menghasilkan bilangan irrasional
$\sqrt{4}$ bukan ialah bentuk akar karena jika ditarik akarnya akan menghasilkan 2 (bilangan rasional)
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
dengan a dan b bilangan bulat positif.
Penyederhanaan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk perkalian dua bilangan. Salah satu bilangan ialah bilangan yang dapat ditarik akarnya dan bilangan yang lain ialah bilangan terkecil dari faktor bilangan sebelumnya yang tidak ditarik akarnya secara langsung.
Untuk contoh penyederhanaan bentuk akar, perhatikan contoh soal berikut
misal
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$
$3\sqrt{72} = 3\sqrt{36 \times 2} = 3 \times 6\sqrt{2}$$ = 18\sqrt{2}$
$7\sqrt{50} = 7\sqrt{25 \times 2} = 7 \times 5\sqrt{2}$$ = 35\sqrt{2}$
Penjumlahan dan Pengurangan
Secara umum dua bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya memiliki bentuk akar yang sama
$a\sqrt[n]{c} + b\sqrt[n]{c} = (a + b)\sqrt[n]{c}$
$a\sqrt[n]{c} - b\sqrt[n]{c} = (a - b)\sqrt[n]{c}$
dengan a, b, c ialah bilangan rasional dan c $\geq$ 0
misal
Tentukan hasil operasi hitung bentuk akar berikut
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$$ = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$$= 7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5}$$ = 6\sqrt{5}$
Perkalian dan Pembagian
Perkalian dan pertolongan pada dua bentuk akar dapat dilakukan apabila keduanya memiliki akar pangkat yang sama
$a\sqrt[n]{c} \times b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}$
$a\sqrt[n]{c} : b\sqrt[n]{d} = \dfrac{a\sqrt[n]{c}}{ b\sqrt[n]{d}}$$ = \dfrac{a}{b}\sqrt[n]{c}{d}$
dengan a, b, c dan d ialah bilangan rasional derta c $\geq$ 0 dan d $\geq$ 0
misal
Tentukan hasil dari operasi perkalian dan pertolongan bentuk akar berikut
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$
Penyelesaian
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$$ = 50\sqrt[3]{8}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$$ = 9\sqrt[6]{4}$
misal soal lainnya mengenai operasi hitung pada bentuk akar
misal 1
Tentukan bentuk sederhana dari hasil operasi bentuk akar $(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$!
Penyelesaian
$(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$$ = 2\sqrt{9} - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 20$
$ = 2\times3 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = -14 - 3\sqrt{3}$
misal 2
Sebuah persegi panjang memiliki panjang $(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2})$ cm dan lebar $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$ cm. Luas persegi panjang tersebut adalah ....cm$^{2}$
Penyelesaian
Luas = panjang $\times$ lebar
$=(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$=6\times3 - 3\sqrt{6} + 10\sqrt{6} - 5\times 2$
$=18 + 7\sqrt{6} - 10$
$=8 + 7\sqrt{6}$
Jadi, luas persegi panjang tersebut adalah $8 + 7\sqrt{6}$ cm$^{2}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ dengan a > b
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!
misal
Sederhanakan bentuk akar berikut!
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
Dalam hal ini kita akan mencari faktor dari 15 yang jumlahnya 8. Faktor yang didapat adalah 5 dan 3 ( 5 x 3 = 15 dan 5 + 3 = 8)
$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$$ = \sqrt{(5 + 3)+2\sqrt{5\cdot3}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{3}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menjawab soal di atas adalah dengan menjadikan bentuk tersebut ke dalam bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$
$\sqrt{5+\sqrt{24}}$$ = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (ingat kembali penyederhanaan bentuk akar sebelumnya)
Selanjutnya dengan cara yang sama seperti soal nomor a diperoleh
$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$ = \sqrt{(5 + 1)+2\sqrt{5\cdot1}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^{2}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{1}$
$=\sqrt{5}+1$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
$\sqrt{8-\sqrt{60}}$$ = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$
$ = \sqrt{(5 + 3)-2\sqrt{5\cdot3}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
Selanjunya, dalam bentuk akar dikenal pula pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk seperti itu biasanya dapat disederhanakan dengan mersaionalkan penyebut. Mengenai hal tersebut bisa dibaca pada artikel 4 Hal yang Perlu Dipahami Dalam Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar. Demikianlah mengenai, bentuk akar semoga bermanfaat.
Lambang akar "$\sqrt{ }$" dipilih sebagai lambang untuk menyatakan akar karena bentuknya mirip dengan bentuk "r" yang berasal dari kata radix. Radix sendiri dalam bahasa latin berarti akar kuadrat. Misalkan n bilangan bulat, a dan b adalah bilangan real. Jika berlaku $b^{n} = a$ maka (b ialah akar pangkat n dari a.
$b = \sqrt[n]{a}$
Untuk n = 2 biasanya tidak ditulis
Bentuk Akar
Bentuk akar ialah akar-akar bilangan rasional yang hasilnya bukan ialah bilangan rasional (irrasional). Bilangan rasional sendiri ialah bilangan yang dapat ditetapkan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat dan b $\neq$ 0. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat ditetapkan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat dan b $\neq$ 0.misal bentuk akar dan bukan bentuk akar
$\sqrt{3}$ ialah bentuk akar karena jika ditarik akarnya akan menghasilkan bilangan irrasional
$\sqrt{4}$ bukan ialah bentuk akar karena jika ditarik akarnya akan menghasilkan 2 (bilangan rasional)
Penyederhanaan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi bentuk akar yang lebih sederhana. Untuk menyederhanakan suatu bentuk akar, kita dapat menggunkan sifat-sifat berikut:$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
dengan a dan b bilangan bulat positif.
Penyederhanaan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk perkalian dua bilangan. Salah satu bilangan ialah bilangan yang dapat ditarik akarnya dan bilangan yang lain ialah bilangan terkecil dari faktor bilangan sebelumnya yang tidak ditarik akarnya secara langsung.
Untuk contoh penyederhanaan bentuk akar, perhatikan contoh soal berikut
misal
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$
$3\sqrt{72} = 3\sqrt{36 \times 2} = 3 \times 6\sqrt{2}$$ = 18\sqrt{2}$
$7\sqrt{50} = 7\sqrt{25 \times 2} = 7 \times 5\sqrt{2}$$ = 35\sqrt{2}$
Operasi Hitung Pada Bentuk Akar
Pada bentuk akar kita dapat menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan serta melakukan pertolongan. Untuk melakukan operasi hitung ada bentuk akar, kita harus mengetahui sifat-sifatnya sebagai berikut:Penjumlahan dan Pengurangan
Secara umum dua bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya memiliki bentuk akar yang sama
$a\sqrt[n]{c} + b\sqrt[n]{c} = (a + b)\sqrt[n]{c}$
$a\sqrt[n]{c} - b\sqrt[n]{c} = (a - b)\sqrt[n]{c}$
dengan a, b, c ialah bilangan rasional dan c $\geq$ 0
misal
Tentukan hasil operasi hitung bentuk akar berikut
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$$ = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$$= 7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5}$$ = 6\sqrt{5}$
Perkalian dan Pembagian
Perkalian dan pertolongan pada dua bentuk akar dapat dilakukan apabila keduanya memiliki akar pangkat yang sama
$a\sqrt[n]{c} \times b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}$
$a\sqrt[n]{c} : b\sqrt[n]{d} = \dfrac{a\sqrt[n]{c}}{ b\sqrt[n]{d}}$$ = \dfrac{a}{b}\sqrt[n]{c}{d}$
dengan a, b, c dan d ialah bilangan rasional derta c $\geq$ 0 dan d $\geq$ 0
misal
Tentukan hasil dari operasi perkalian dan pertolongan bentuk akar berikut
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$
Penyelesaian
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$$ = 50\sqrt[3]{8}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$$ = 9\sqrt[6]{4}$
misal soal lainnya mengenai operasi hitung pada bentuk akar
misal 1
Tentukan bentuk sederhana dari hasil operasi bentuk akar $(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$!
Penyelesaian
$(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$$ = 2\sqrt{9} - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 20$
$ = 2\times3 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = -14 - 3\sqrt{3}$
misal 2
Sebuah persegi panjang memiliki panjang $(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2})$ cm dan lebar $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$ cm. Luas persegi panjang tersebut adalah ....cm$^{2}$
Penyelesaian
Luas = panjang $\times$ lebar
$=(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$=6\times3 - 3\sqrt{6} + 10\sqrt{6} - 5\times 2$
$=18 + 7\sqrt{6} - 10$
$=8 + 7\sqrt{6}$
Jadi, luas persegi panjang tersebut adalah $8 + 7\sqrt{6}$ cm$^{2}$
Penyederhanaan Bentuk Akar $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ dan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$
Penyederhanaan bentuk akar $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ dan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ dapat dilakukan dengan memanfaatkan sifat pangkat pada bentuk
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = (a + b) + 2\sqrt{ab}$ dan
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} = (a + b) - 2\sqrt{ab}$
Dari bentuk di atas diperoleh jika
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ dengan a > b
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!
misal
Sederhanakan bentuk akar berikut!
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
Dalam hal ini kita akan mencari faktor dari 15 yang jumlahnya 8. Faktor yang didapat adalah 5 dan 3 ( 5 x 3 = 15 dan 5 + 3 = 8)
$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$$ = \sqrt{(5 + 3)+2\sqrt{5\cdot3}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{3}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menjawab soal di atas adalah dengan menjadikan bentuk tersebut ke dalam bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$
$\sqrt{5+\sqrt{24}}$$ = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (ingat kembali penyederhanaan bentuk akar sebelumnya)
Selanjutnya dengan cara yang sama seperti soal nomor a diperoleh
$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$ = \sqrt{(5 + 1)+2\sqrt{5\cdot1}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^{2}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{1}$
$=\sqrt{5}+1$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
$\sqrt{8-\sqrt{60}}$$ = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$
$ = \sqrt{(5 + 3)-2\sqrt{5\cdot3}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
Selanjunya, dalam bentuk akar dikenal pula pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk seperti itu biasanya dapat disederhanakan dengan mersaionalkan penyebut. Mengenai hal tersebut bisa dibaca pada artikel 4 Hal yang Perlu Dipahami Dalam Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar. Demikianlah mengenai, bentuk akar semoga bermanfaat.
Posting Komentar untuk "Mengenal Bentuk Akar"