Konsep Dan Teladan Soal Permutasi Dengan Objek Yang Sama
Salah satu bentuk pengembangan permutasi ialah mencari banyaknya susunan objek dari beberapa objek yang sama. Kejadian tersebut disebut dengan permutasi berulang atau permutasi dengan beberapa objek yang sama.
Lebih jelasnya, defenisi permutasi berulang tersebut sebagai berikut,
Banyaknya permutasi n objek dimana ada n$_1$ objek tipe 1 yang sama, n$_2$ objek tipe 2 sama, ..., dan n$_k$ objek tipe k yangsama sanggup dihitung dengan rumus:
Lebih gampang sebaiknya anda perhatikan bentuk penggunaan permutasi objek yang tidak sanggup dibedakan (beberapa objek yang sama) di bawah ini:
Soal 1: Berapa banyak susunan karakter berbeda sanggup disusun dari kata SUCCESS?
Pembahasan:
Kata SUCCESS mempunyai 3 karakter S, 2 karakter C, 1 karakter U dan 1 karakter E. Perhitungan penyusunan ulang karakter pada kata SUCCESS,
tiga karakter S sanggup diletakkan diantara tujuh posisi, yang berarti sanggup dilakukan dengan C(7,3) cara. Dua karakter C sanggup diantara empat posisi (sisa posisi sehabis ditempati tiga karakter S), yang berarti sanggup dilakukan dengan C(4,2) cara.
Satu karakter U sanggup diletakan diantara dua posisi (sisa posisi sehabis ditempati tiga karakter S dan dua karakter C), yang berarti sanggup dilakukan dengan C(2,1) cara.
Sedangkan Satu karakter E hanya sanggup diletakan pada satu posisi (sisa posisi sehabis ditempati tiga karakter S, dua karakter C dan satu karakter U), yang berarti sanggup dilakukan dengan C(1,1) cara. Berdasarkan hukum perkalian, banyak susunan karakter lain yang berbeda sanggup dibentuk adalah,
C(7,3)C(4,2)C(2,1)C(1,1)=420
Atau kalau memakai rumus di atas sanggup dihitung dengan cepat,
$ n =7 \text {semua karakter } \\ n_1 = 3 \text {huruf S} \\ n_2 = 2 \text {huruf C}\\ n_3= 1 \text {huruf U} \\ n_4 = 1 \text {huruf E}$
Sehingga:
$ \text {banyak cara= } \frac {7!}{3! 2! 1! 1!} = 420$
Soal 2:
Berapa banyak susunan karakter berbeda sanggup dibentuk dari kata SUCCESS jika
a). string diawalai oleh karakter S?
b). string diakhiri oleh hurus C?
c). string diawali oleh karakter S dan diakhiri oleh karakter C?
d). dua karakter C selalu berdekatan satu sama lain?
Jawab:
Terdapat tujuh karakter pada kata SUCCESS : tiga karakter S, dua karakter C, satu karakter U, dan satu karakter E.
a) . Jika diawali oleh karakter S, maka sisa enam posisi berbeda yang akan diisi oleh dua karakter S, dua karakter C, satu karakter U, dan satu karakter E. Sehingga banyaknya cara adalah
$ \text {banyak cara= } \frac {6!}{2! 2! 1! 1!}$
b) Jika diakhiri oleh hurus C, maka ada enam posisi berbeda yang akan diisi oleh tiga karakter S, satu karakter C, satu karakter U, dan satu karakter E. Sehingga banyaknya cara adalah
$ \text {banyak cara= } \frac {6!}{3! 1! 1! 1!}$
c) Jika dua karakter C selalu berdekatan satu sama lain, maka dua karakter C dianggap satu huruf. Ada enam posisi berbeda yang akan diisi oleh tiga karakter S, karakter C yang dianggap satu, satu karakter U, dan satu karakter E. Sehingga banyaknya cara ada
$ \text {banyak cara } = \frac{6!}{3!1!1!1!}=120 $
Lebih jelasnya, defenisi permutasi berulang tersebut sebagai berikut,
Banyaknya permutasi n objek dimana ada n$_1$ objek tipe 1 yang sama, n$_2$ objek tipe 2 sama, ..., dan n$_k$ objek tipe k yangsama sanggup dihitung dengan rumus:
Soal 1: Berapa banyak susunan karakter berbeda sanggup disusun dari kata SUCCESS?
Pembahasan:
Kata SUCCESS mempunyai 3 karakter S, 2 karakter C, 1 karakter U dan 1 karakter E. Perhitungan penyusunan ulang karakter pada kata SUCCESS,
tiga karakter S sanggup diletakkan diantara tujuh posisi, yang berarti sanggup dilakukan dengan C(7,3) cara. Dua karakter C sanggup diantara empat posisi (sisa posisi sehabis ditempati tiga karakter S), yang berarti sanggup dilakukan dengan C(4,2) cara.
Satu karakter U sanggup diletakan diantara dua posisi (sisa posisi sehabis ditempati tiga karakter S dan dua karakter C), yang berarti sanggup dilakukan dengan C(2,1) cara.
Sedangkan Satu karakter E hanya sanggup diletakan pada satu posisi (sisa posisi sehabis ditempati tiga karakter S, dua karakter C dan satu karakter U), yang berarti sanggup dilakukan dengan C(1,1) cara. Berdasarkan hukum perkalian, banyak susunan karakter lain yang berbeda sanggup dibentuk adalah,
C(7,3)C(4,2)C(2,1)C(1,1)=420
Atau kalau memakai rumus di atas sanggup dihitung dengan cepat,
$ n =7 \text {semua karakter } \\ n_1 = 3 \text {huruf S} \\ n_2 = 2 \text {huruf C}\\ n_3= 1 \text {huruf U} \\ n_4 = 1 \text {huruf E}$
Sehingga:
$ \text {banyak cara= } \frac {7!}{3! 2! 1! 1!} = 420$
Soal 2:
Berapa banyak susunan karakter berbeda sanggup dibentuk dari kata SUCCESS jika
a). string diawalai oleh karakter S?
b). string diakhiri oleh hurus C?
c). string diawali oleh karakter S dan diakhiri oleh karakter C?
d). dua karakter C selalu berdekatan satu sama lain?
Jawab:
Terdapat tujuh karakter pada kata SUCCESS : tiga karakter S, dua karakter C, satu karakter U, dan satu karakter E.
a) . Jika diawali oleh karakter S, maka sisa enam posisi berbeda yang akan diisi oleh dua karakter S, dua karakter C, satu karakter U, dan satu karakter E. Sehingga banyaknya cara adalah
$ \text {banyak cara= } \frac {6!}{2! 2! 1! 1!}$
b) Jika diakhiri oleh hurus C, maka ada enam posisi berbeda yang akan diisi oleh tiga karakter S, satu karakter C, satu karakter U, dan satu karakter E. Sehingga banyaknya cara adalah
$ \text {banyak cara= } \frac {6!}{3! 1! 1! 1!}$
c) Jika dua karakter C selalu berdekatan satu sama lain, maka dua karakter C dianggap satu huruf. Ada enam posisi berbeda yang akan diisi oleh tiga karakter S, karakter C yang dianggap satu, satu karakter U, dan satu karakter E. Sehingga banyaknya cara ada
$ \text {banyak cara } = \frac{6!}{3!1!1!1!}=120 $
Posting Komentar untuk "Konsep Dan Teladan Soal Permutasi Dengan Objek Yang Sama"