Cara Menghitung Luas Kawasan Dengan Integral Tanpa Menggambar

Pada tahap normalnya, untuk menghitung luas tempat kurva terlebih dahulu harus dibentuk gambar grafik fungsinya. Namun pada kondisi tertentu ini cukup membuang waktu. Demi menghemat waktu, bukan mustahil anda dapat menghitung luas tempat kurva dengan integral tanpa harus menggambarkan terlebih dahulu fungsinya.

Langkah yang harus anda lakukan adalah,

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x. Secara teoritis anda dapat subtitusikan y=0 pada persamaan. Atau jikalau soal untuk 2 kurva anda dapat cari perpotongan dua kurva tersebut.
2. Tentukan tempat apakah semua di atas sumbu x atau di bawah sumbu x. Caranya dengan menguji sebuah nilai x sebarang pada titik potong fungsi itu. Bila nilai positig maka tempat berada di atas sumbu x, pun demikian sebaliknya.
3. Hitung luas tempat dengan integral.

Contoh penggunaan teori di atas sebagai berikut,

Soal 1.Hitunglah luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $.

Pembahasan:

Titik potong dengan sumbu x,

$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^2 -6x + 8 & = 0 \\ (x - 2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ sama dengan batas garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $,  terang sudah batas integral yaitu dari 2 hingga 4.

Posisi daerah:

$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 3^2 -6.3 + 8 \\ & = 9 -18 + 8 \\ & = -1 \end{align} $
Hasil fungsi negatif $(-1) $ , tempat ada di bawah sumbu X,maka harus dikalikan dengan negatif.

Menghitung Luas
$ \begin{align} \text{Luas } & = - \int \limits_2^4 x^2 -6x + 8 dx \\ & = -[ \frac{1}{3}x^3 -3x^2 + 8x ]_2^4 \\ & = -([ \frac{1}{3}.4^3 -3.4^2 + 8.4 ] - [ \frac{1}{3}.2^3 -3.2^2 + 8.2 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -48 + 32 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 -12 + 16 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -16 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 + 4 ]) \\ & = -( \frac{56}{3} - 20) \\ & = -( - \frac{4}{3} ) \\ & = \frac{4}{3} \end{align} $

Soal 2. Hitunglah luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = x^3 - 4x \, $ dan sumbu X

Pembahasan:

Titik potong kurva pada sumbu X :

$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^3 - 4x & = 0 \\ x(x^2 - 4) & = 0 \\ x(x - 2)(x+2) & = 0 \\ x = 0, \, x = 2, \, \vee x & = -2 \end{align} $

Karena batasnya pribadi dengan sumbu X, maka batasan integral yang kita gunakan pribadi memakai titik potong sumbu X. Ada tiga titik potongnya, artinya ada dua tempat yang akan kita hitung luasnya yaitu tempat dari -2 hingga 0 dan dari 0 hingga 2.

Daerah pertama -2 hingga 0, substitusi $ x = -1 $

$ \begin{align} x = -1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = (-1)^3 - 4.(-1) \\ & = -1 + 4 \\ & = 3 \end{align} $

Karena hasil fungsinya faktual , artinya tempat arsiran ada di atas sumbu X untuk tempat -2 hingga 0.

Daerah kedua 0 hingga 2, substitusi $ x = 1 $

$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = 1^3 - 4.1 \\ & = 1 - 4 \\ & = -3 \end{align} $ 

Karena hasil fungsinya negatif , artinya tempat arsiran ada di bawah sumbu X untuk tempat 0 hingga 2, semoga luasnya faktual maka harus kita kalikan negatif.

Menghitung luas

$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx + (- \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx ) \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx - \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx \\ & = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^0 - [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_0^2 \\ & = ([ 0 ]-[\frac{1}{4}. (-2)^4 - 2.(-2)^2]) - ([\frac{1}{4}.2^4 - 2.2^2] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[4 - 8]) - ([4 - 8] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[-4]) - ([-4]  ) \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $

Soal 3. Hitung luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x + 5 , \, y = 4x - 3 \, $ , garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $

Pembahasan:

Titik potong kedua fungsi:

$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x + 5 & = 4x - 3 \\ x^2 - 6x + 8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $

Titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ . tetapi batas yang diminta yakni garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya batasan integralnya ada di dalam interval 2 hingga 4, sehingga yang digunakan yakni batasannya dari 2 hingga 3.

Tentukan posisi kurva yang di atas danyang di bawah.

Batas antara 2 dan 3,coba titik $ x = 2,5 \, $ ,

kurva : $ y = x^2 - 2x + 5 $

$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 - 2x + 5 \\ y & = (2,5)^2 - 2.(2,5) + 5 \\ & = 6,25 -5 + 5    \\ & = 6,25 \end{align} $

kurva : $ y = 4x - 3 $

$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = 4x - 3 \\ y & = 4.(2,5) - 3 \\ & = 10 - 3 \\ & = 7 \end{align} $

Karena nilai untuk kurva $ y = x^2 - 2x + 5 \, $ lebih besar dari nilai kurva $ y = 4x - 3 \, $ , artinya kurva pertama di atas kurva kedua.

Hitung luas

$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_2^3 (x^2 - 2x + 5) - (4x - 3) dx \\ & = \int \limits_2^3 x^2 - 6x + 8 dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x ]_2^3 \\ & = [\frac{1}{3}.3^3 - 3.3^2 + 8.3 ] - [\frac{1}{3}.2^3 - 3.2^2 + 8.2 ] \\ & = [9 - 18 + 24 ] - [\frac{8}{3} - 12 + 16 ] \\ & = [15 ] - [\frac{8}{3} + 4 ] \\ & = 11 - \frac{8}{3} \\ & = 9\frac{2}{3} \end{align} $

Berbagi :